int(xe^-xdx)/(x-1)^2=? 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: প্রশ্নটি হলো: \(\int \frac{xe^{-x}}{(x-1)^2} dx = ?\) আমরা এই সমাকলনটি অংশতঃ সমাকলনের মাধ্যমে সমাধান করতে পারি। ধরি, \(u = xe^{-x}\) এবং \(dv = \frac{1}{(x-1)^2} dx\) তাহলে, \(du = (e^{-x} - xe^{-x}) dx = e^{-x}(1-x) dx\) এবং \(v = \int \frac{1}{(x-1)^2} dx = -\frac{1}{x-1}\) এখন, অংশতঃ সমাকলনের সূত্র ব্যবহার করে: \(\int u dv = uv - \int v du\) \(\int \frac{xe^{-x}}{(x-1)^2} dx = xe^{-x} \left(-\frac{1}{x-1}\right) - \int \left(-\frac{1}{x-1}\right) e^{-x}(1-x) dx\) \(= -\frac{xe^{-x}}{x-1} + \int e^{-x} dx\) \(= -\frac{xe^{-x}}{x-1} - e^{-x} + C\) \(= -\frac{xe^{-x}}{x-1} - \frac{e^{-x}(x-1)}{x-1} + C\) \(= \frac{-xe^{-x} - xe^{-x} + e^{-x}}{x-1} + C\) \(= \frac{e^{-x}(-x-x+1)}{x-1} + C\) \(= \frac{e^{-x}(1-2x)}{x-1} + C\) যদি উত্তরটি \(-\frac{e^{-x}}{x-1} + C\) হয়, তবে অন্যভাবে করতে হবে। আবার ধরা যাক, \(u = e^{-x}, dv = \frac{x}{(x-1)^2}dx\) তাহলে, \(du = -e^{-x}dx\) এখন, \(\frac{x}{(x-1)^2} = \frac{x-1+1}{(x-1)^2} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}\) সুতরাং, \(v = \int \left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}\right) dx = \ln|x-1| - \frac{1}{x-1}\) এখন, \(\int \frac{xe^{-x}}{(x-1)^2} dx = e^{-x}\left(\ln|x-1| - \frac{1}{x-1}\right) - \int \left(\ln|x-1| - \frac{1}{x-1}\right) (-e^{-x}) dx\) এই পদ্ধতিতে উত্তর মেলানো কঠিন। অন্য একটি বিকল্প চেষ্টা করি: আমরা লিখতে পারি, \(\frac{x}{(x-1)^2} = \frac{x-1+1}{(x-1)^2} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}\) তাহলে, \(\int \frac{xe^{-x}}{(x-1)^2} dx = \int e^{-x} \left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}\right) dx\) এখন, আমরা যদি \(u = \frac{1}{x-1}\) ধরি, তাহলে \(du = -\frac{1}{(x-1)^2} dx\) তাহলে, \(\int \frac{e^{-x}}{x-1} dx + \int \frac{e^{-x}}{(x-1)^2} dx\) প্রথম অংশটি অপরিবর্তিত রেখে দ্বিতীয় অংশে আংশিক সমাকলন করি। দ্বিতীয় অংশের জন্য, ধরি \(u = e^{-x}\), \(dv = \frac{1}{(x-1)^2} dx\) তাহলে, \(du = -e^{-x} dx\), \(v = -\frac{1}{x-1}\) সুতরাং, \(\int \frac{e^{-x}}{(x-1)^2} dx = -\frac{e^{-x}}{x-1} - \int -\frac{1}{x-1} (-e^{-x}) dx = -\frac{e^{-x}}{x-1} - \int \frac{e^{-x}}{x-1} dx\) তাহলে, \(\int \frac{xe^{-x}}{(x-1)^2} dx = \int \frac{e^{-x}}{x-1} dx + \int \frac{e^{-x}}{(x-1)^2} dx = \int \frac{e^{-x}}{x-1} dx - \frac{e^{-x}}{x-1} - \int \frac{e^{-x}}{x-1} dx = -\frac{e^{-x}}{x-1} + C\) সুতরাং, \(\int \frac{xe^{-x}}{(x-1)^2} dx = -\frac{e^{-x}}{x-1} + C\) 🎉🎉🎉