\(\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\) এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\) এর মান কোনটি?

উত্তর: 1

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রালটি সমাধান করতে পারি সাবস্টিটিউশনের মাধ্যমে। 

ধরি, 
\[
u = 1 - x^2
\]
অতএব,
\[
du = -2x \, dx \quad \Rightarrow \quad x \, dx = -\frac{1}{2} du
\]

সীমা পরিবর্তন করি:

যখন \(x = 0\),
\[
u = 1 - 0^2 = 1
\]

যখন \(x = 1\),
\[
u = 1 - 1^2 = 0
\]

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়:

\[
\int_{x=0}^{x=1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int_{u=1}^{u=0} \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt{u}} 
= -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{-\frac{1}{2}} \, du
\]

ইন্টিগ্রালটির অর্ডার বদলে:

\[
= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{-\frac{1}{2}} \, du
\]

এখন, 

\[
\int u^{-\frac{1}{2}} \, du = 2 u^{\frac{1}{2}} + C
\]

অতএব,

\[
\frac{1}{2} \times 2 u^{\frac{1}{2}} \bigg|_{0}^{1} = u^{\frac{1}{2}} \bigg|_{0}^{1} = \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1 - 0 = 1
\]

অতএব, উত্তর হলো:

\(\boxed{1}\)