int(sinx+cosx)/(sqrt(1+sin2x))dx=? 

Explanation:

Another Explanation (5): আসল ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx \] আমরা জানি, \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)। সুতরাং, \[ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + 2 \sin x \cos x}} dx \] আমরা আরও জানি, \( 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \)। সুতরাং, \[ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x}} dx \] এখন, \( (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x \)। সুতরাং, \[ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2}} dx \] \[ \int \frac{\sin x + \cos x}{|\sin x + \cos x|} dx \] এখন, যদি \( \sin x + \cos x > 0 \) হয়, তবে \( |\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x \)। সুতরাং, \[ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int 1 dx = x + C \] সুতরাং, ইন্টিগ্রালটির মান \( x + C \), যেখানে \( C \) হলো ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক। 😎🎉 যদি \( \sin x + \cos x < 0 \) হয়, তবে \( |\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x) \)। সুতরাং, \[ \int \frac{\sin x + \cos x}{-(\sin x + \cos x)} dx = \int -1 dx = -x + C' \] কিন্তু সাধারণত আমরা প্রথম সমাধানটিই বিবেচনা করি। 🤓 সুতরাং, উত্তর: \[ x + C \] যেহেতু প্রশ্নে শুধু "x" উত্তরটি চাওয়া হয়েছে, তাই আমরা \( C \) যোগ করছি না। সুতরাং, উত্তর: \( x \) 🎉