int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt((1-cos2x)/(2))dx=? 

প্রশ্ন: \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} dx = ?\)

আমরা জানি, \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\)

সুতরাং, \(\frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{2} = \frac{2\sin^2 x}{2} = \sin^2 x\)

অতএব, \(\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|\)

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হল: \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| dx\)

আমরা জানি, \(|\sin x|\) একটি যুগ্ম ফাংশন। সুতরাং, \(\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) যদি \(f(x)\) যুগ্ম ফাংশন হয়।

অতএব, \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| dx = 2\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx\)

\(= 2[-\cos x]_{0}^{\pi/2} = 2[-\cos(\pi/2) + \cos(0)] = 2[-0 + 1] = 2\)

সুতরাং, \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} dx = 2\)

প্রদত্ত উত্তর "0" ভুল। সঠিক উত্তর 2। 😅