int_-1^1lnx/sqrtx dx=? 

প্রশ্ন: \( \int_{-1}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = ? \)

সমাধান:

এখানে একটি সমস্যা আছে। সমাকলটির নিম্নসীমা \(-1\) এবং আমরা জানি \(\ln x\) শুধুমাত্র ধনাত্মক \(x\) এর জন্য সংজ্ঞায়িত। ঋণাত্মক \(x\) এর জন্য \(\ln x\) সংজ্ঞায়িত নয়। তাই, এই সমাকলটি সরাসরি সমাধান করা সম্ভব নয়।

যদি প্রশ্নটি \(\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx\) হয়, তবে তার সমাধান নিচে দেওয়া হলো:

ধরি, \(I = \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx\)

এখন, \(x = t^2\) ধরলে, \(dx = 2t \, dt\) হবে।

সীমা পরিবর্তন করে পাই, যখন \(x = 0\), \(t = 0\) এবং যখন \(x = 1\), \(t = 1\)।

সুতরাং, \(I = \int_{0}^{1} \frac{\ln (t^2)}{\sqrt{t^2}} 2t \, dt = \int_{0}^{1} \frac{2 \ln t}{t} 2t \, dt = 4 \int_{0}^{1} \ln t \, dt\)

এখন, \( \int_{0}^{1} \ln t \, dt \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, \( \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C \)

সুতরাং, \( \int_{0}^{1} \ln t \, dt = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} \ln t \, dt = \lim_{a \to 0^+} [t \ln t - t]_{a}^{1} \)

\(= (1 \ln 1 - 1) - \lim_{a \to 0^+} (a \ln a - a) = (0 - 1) - (0 - 0) = -1\)

কারণ, \(\lim_{a \to 0^+} a \ln a = 0\)

অতএব, \(I = 4 \times (-1) = -4\)

সুতরাং, \( \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = -4 \)

যদি প্রশ্নটি \(\int_{a}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx\) হয় যেখানে a একটি ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা, তবে উপরের পদ্ধতি অনুসরণ করে উত্তর পাওয়া যাবে। অন্যথায়, \(\int_{-1}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx\) এর বাস্তব মান নেই। 😥

যদি প্রশ্নটি ভুল হয়ে থাকে তবে সঠিক প্রশ্ন প্রদান করুন। ধন্যবাদ! 🙏