\( f(x+1) = x + 1 \) হলে \( \int f(x+2) dx = ? \)

Explanation: Solve: \(f\left(\frac{x}{x + 1}\right) = x + 1\) ধরি, \(y = \frac{x}{x + 1}\) তাহলে, \(f(y) = x + 1\) বা, \(xy + y = x \implies x (1 - y) = y \implies x = \frac{y}{1 - y}\) \(\implies x + 1 = \frac{y}{1 - y} + 1 = \frac{1}{1 - y}\) \(\therefore f(y) = \frac{1}{1 - y}\) \(\therefore f(x + 3) = \frac{1}{1 - (x + 3)} = \frac{1}{1 - x - 3} = -\frac{1}{x + 2}\) তাহলে \(\int f(x + 3) dx = -\int \frac{1}{x + 2} dx = -\ln|x + 2| + c\) Ans. (D)

Another Explanation (5): bài toán: \( f(x+1) = x + 1 \) হলে \( \int f(x+2) dx = ? \) 🤔 দেওয়া আছে, \( f(x+1) = x + 1 \) ধরি, \( x+1 = u \) তাহলে, \( x = u - 1 \) সুতরাং, \( f(u) = u \) 🤩 অতএব, \( f(x) = x \) 🥳 এখন, \( \int f(x+2) dx = \int (x+2) dx \) হবে। 🤓 \( \int (x+2) dx = \int x dx + \int 2 dx \) 🧐 \( = \frac{x^2}{2} + 2x + c \) 🎉 সুতরাং, \( \int f(x+2) dx = \frac{x^2}{2} + 2x + c \) 🥰 কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি হল \( -\ln |x + 2| + c, x ≠ -2 \) 😥 আমার মনে হয় প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। 🤔 যদি \( f(x) = \frac{1}{x} \) হয় তবে দেখা যাক। যদি \( f(x+1) = \frac{1}{x+1} \) হয় তবে \( f(x) = \frac{1}{x} \) তাহলে, \( f(x+2) = \frac{1}{x+2} \) সেক্ষেত্রে, \( \int f(x+2) dx = \int \frac{1}{x+2} dx = \ln |x+2| + c \) হবে। 🤔 সেক্ষেত্রেও উত্তরের সাথে মিলছে না। 😒 যদি \( f(x+1) = \frac{-1}{x+1} \) হয় তবে \( f(x) = \frac{-1}{x} \) তাহলে, \( f(x+2) = \frac{-1}{x+2} \) সেক্ষেত্রে, \( \int f(x+2) dx = \int \frac{-1}{x+2} dx = -\ln |x+2| + c \) হবে। 🤩 এক্ষেত্রে উত্তরটি প্রদত্ত উত্তরের সাথে মিলে যায়। 🥰 সুতরাং, প্রশ্নটি হওয়া উচিত ছিল \( f(x+1) = \frac{-1}{x+1} \) হলে \( \int f(x+2) dx = ? \) 🥳 সেক্ষেত্রে উত্তর হবে \( -\ln |x + 2| + c, x ≠ -2 \)।