∫e^-x{1/x+1/x^2}dx  এর যোজিত ফল কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int e^{-x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx\) এর সমাধান। সমাধান: প্রথমে ইন্টিগ্রালটি লেখি: \[ I = \int e^{-x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx \] এটি দুটি আলাদা অংশে ভাগ করা যায়: \[ I = \int e^{-x} \frac{1}{x} dx + \int e^{-x} \frac{1}{x^2} dx \] তবে, সরাসরি আলাদা করে সমাধান করা কঠিন। তাই মূল ইন্টিগ্রালটি একটি একক রূপে দেখে নেয়া ভাল। অথবা, আমরা লক্ষ্য করি যে: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2} \] অর্থাৎ, \[ I = \int e^{-x} \frac{x+1}{x^2} dx \] এখন, numerator \(x+1\) কে দুটি ভাগে ভাগ করতে পারি: \[ I = \int e^{-x} \left( \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} \right) dx = \int e^{-x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx \] যা আগেরই রূপ। এখন, লক্ষ্য করি যে: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{-x}}{x} \right ) = \frac{d}{dx} \left( e^{-x} \cdot \frac{1}{x} \right ) \] চলুন এটি অবমূল্যায়ন করি। \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{-x}}{x} \right ) = \frac{d}{dx} (e^{-x}) \cdot \frac{1}{x} + e^{-x} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right ) \] \[ = -e^{-x} \cdot \frac{1}{x} + e^{-x} \left( - \frac{1}{x^2} \right ) = - e^{-x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right ) \] অর্থাৎ, \[ - \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{-x}}{x} \right ) = e^{-x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right ) \] এটি মূল ইন্টিগ্রালটির integrand। তাই, \[ I = \int e^{-x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx = - \frac{e^{-x}}{x} + C \] অতএব, সমাধান হলো: \[ \boxed{ \int e^{-x} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx = - \frac{e^{-x}}{x} + C } \]