int_0^a(dx)/(x(a-x))
RUETউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রযোগজীকরণযোগজ নির্ণয়ের সূত্র ও ধর্ম (Topic Practice)RUET - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
pi/(2a^2)
Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: \(\int_0^a \frac{dx}{x(a-x)}\)
সমাধান:
আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রান্ডকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:
\(\frac{1}{x(a-x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{a-x}\)
উভয় পক্ষে \(x(a-x)\) দিয়ে গুণ করে পাই:
\(1 = A(a-x) + Bx\)
\(x = 0\) বসালে, \(1 = Aa\), সুতরাং \(A = \frac{1}{a}\).
\(x = a\) বসালে, \(1 = Ba\), সুতরাং \(B = \frac{1}{a}\).
অতএব, \(\frac{1}{x(a-x)} = \frac{1}{a} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{a-x} \right)\)
এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে:
\(\int_0^a \frac{dx}{x(a-x)} = \frac{1}{a} \int_0^a \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{a-x} \right) dx\)
\(= \frac{1}{a} \left[ \ln|x| - \ln|a-x| \right]_0^a\)
\(= \frac{1}{a} \left[ \ln \left| \frac{x}{a-x} \right| \right]_0^a\)
এখানে \(x=0\) এবং \(x=a\) বসানো হলে \(\ln\) এর ভিতরের রাশিটির মান অসীম হয়। সুতরাং, এই ইন্টিগ্রালটি একটি Improper Integral। এই ধরনের ইন্টিগ্রালের জন্য লিমিট ব্যবহার করতে হয়।
আমরা লিখি,
\(\int_0^a \frac{dx}{x(a-x)} = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{a-\epsilon} \frac{dx}{x(a-x)}\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left| \frac{x}{a-x} \right| \right]_{\epsilon}^{a-\epsilon}\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left| \frac{a-\epsilon}{a-(a-\epsilon)} \right| - \ln \left| \frac{\epsilon}{a-\epsilon} \right| \right]\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left| \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right| - \ln \left| \frac{\epsilon}{a-\epsilon} \right| \right]\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right) - \ln \left( \frac{\epsilon}{a-\epsilon} \right) \right]\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right) + \ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right) \right]\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{2}{a} \ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right)\)
যেহেতু \(\epsilon \to 0\), \(\ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right) \to \infty\)
সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি Diverges বা অপসারী। 😮
দেওয়া উত্তরটি ভুল। ❌
```
প্রশ্ন: \(\int_0^a \frac{dx}{x(a-x)}\)
সমাধান:
আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রান্ডকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:
\(\frac{1}{x(a-x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{a-x}\)
উভয় পক্ষে \(x(a-x)\) দিয়ে গুণ করে পাই:
\(1 = A(a-x) + Bx\)
\(x = 0\) বসালে, \(1 = Aa\), সুতরাং \(A = \frac{1}{a}\).
\(x = a\) বসালে, \(1 = Ba\), সুতরাং \(B = \frac{1}{a}\).
অতএব, \(\frac{1}{x(a-x)} = \frac{1}{a} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{a-x} \right)\)
এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে:
\(\int_0^a \frac{dx}{x(a-x)} = \frac{1}{a} \int_0^a \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{a-x} \right) dx\)
\(= \frac{1}{a} \left[ \ln|x| - \ln|a-x| \right]_0^a\)
\(= \frac{1}{a} \left[ \ln \left| \frac{x}{a-x} \right| \right]_0^a\)
এখানে \(x=0\) এবং \(x=a\) বসানো হলে \(\ln\) এর ভিতরের রাশিটির মান অসীম হয়। সুতরাং, এই ইন্টিগ্রালটি একটি Improper Integral। এই ধরনের ইন্টিগ্রালের জন্য লিমিট ব্যবহার করতে হয়।
আমরা লিখি,
\(\int_0^a \frac{dx}{x(a-x)} = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{a-\epsilon} \frac{dx}{x(a-x)}\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left| \frac{x}{a-x} \right| \right]_{\epsilon}^{a-\epsilon}\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left| \frac{a-\epsilon}{a-(a-\epsilon)} \right| - \ln \left| \frac{\epsilon}{a-\epsilon} \right| \right]\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left| \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right| - \ln \left| \frac{\epsilon}{a-\epsilon} \right| \right]\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right) - \ln \left( \frac{\epsilon}{a-\epsilon} \right) \right]\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{a} \left[ \ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right) + \ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right) \right]\)
\(= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{2}{a} \ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right)\)
যেহেতু \(\epsilon \to 0\), \(\ln \left( \frac{a-\epsilon}{\epsilon} \right) \to \infty\)
সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি Diverges বা অপসারী। 😮
দেওয়া উত্তরটি ভুল। ❌
```