int_0^(pi/2)cos^5 x dx এর মান কত? 

আমরা \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^n x \, dx \) এর জন্য রিডাকশন ফর্মুলা ব্যবহার করতে পারি:

\( \int_{0}^{\pi/2} \cos^n x \, dx = \frac{n-1}{n} \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n-2} x \, dx \)

এখানে, \( n = 5 \)। সুতরাং,

\( \int_{0}^{\pi/2} \cos^5 x \, dx = \frac{5-1}{5} \int_{0}^{\pi/2} \cos^{5-2} x \, dx = \frac{4}{5} \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x \, dx \)

এখন, \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x \, dx \) এর জন্য আবার রিডাকশন ফর্মুলা ব্যবহার করি:

\( \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x \, dx = \frac{3-1}{3} \int_{0}^{\pi/2} \cos^{3-2} x \, dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx \)

আমরা জানি যে, \( \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \)

সুতরাং,

\( \int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x \, dx = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \)

অতএব,

\( \int_{0}^{\pi/2} \cos^5 x \, dx = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{15} \)

সুতরাং, \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^5 x \, dx = \frac{8}{15} \) 🥳🎉