y = mx + c রেখাটি y²= 4ax এর স্পর্শক, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক-

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = mx + c \) রেখাটি \( y^2 = 4ax \) এর স্পর্শক, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। সমাধান: ধরা যাক, রেখাটির স্পর্শক বিন্দু হলো \\( (x_0, y_0) \) এবং রেখার সমীকরণ হলো: \[ y = mx + c \] রেখাটি \( y^2 = 4ax \) সমীকরণের সাথে স্পর্শক হলে, তাদের সমীকরণ সমাধান করে স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করবো। প্রথমত, রেখার সমীকরণ থেকে \( c \) কে প্রকাশ করি: \[ c = y - mx \] স্পর্শক হলে, রেখার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক \( c \) এর জন্য, ঐ বিন্দুটি \( y^2 = 4ax \) রেখার উপর অবস্থিত এবং একই সময়ে, রেখার সাথে স্পর্শক হয়। সুতরাং, \( (x_0, y_0) \) বিন্দুতে রেখা ও রেখা সমান্তরাল হবে, অর্থাৎ, \[ y_0 = m x_0 + c \] এবং, \( (x_0, y_0) \) বিন্দুটি \( y^2 = 4ax \) রেখার স্পর্শবিন্দু, অর্থাৎ, এই বিন্দু রেখার উপর এবং রেখার স্লোপ একই। অতএব, \( y_0 \) ও \( x_0 \) এর জন্য: \[ y_0^2 = 4a x_0 \] ধরা যাক, রেখার সমীকরণ থেকে \( c \) নির্ণয় করি। রেখাটির \( y \)-অক্ষ ছেদ হলো \( c \) অর্থাৎ, যখন \( x = 0 \), তখন \( y = c \)। রেখার স্পর্শক বিন্দু হিসেবে ধরি \( (x_0, y_0) \), যেখানে, \[ y_0 = m x_0 + c \] এবং, \[ y_0^2 = 4a x_0 \] রেখার সমীকরণে, স্পর্শক বিন্দু এর জন্য: \[ \text{(1) } y_0 = m x_0 + c \] \[ \text{(2) } y_0^2 = 4a x_0 \] এখন, রেখার সমীকরণ \( y = m x + c \) এর জন্য, \( c \) নির্ণয় করতে পারি: \[ c = y_0 - m x_0 \] আমরা জানি, স্পর্শক বিন্দু \( (x_0, y_0) \) এই রেখার উপর অবস্থিত। \( y_0 \) ও \( x_0 \) এর জন্য, \( y_0^2 = 4a x_0 \), অংকন করে দেখি। তাহলে, \[ x_0 = \frac{y_0^2}{4a} \] এখন, রেখার ধরণ ও স্পর্শক বিন্দুর জন্য, রেখার স্লোপ \( m \) এর মান নির্ণয় করি। যেহেতু রেখাটি \( y = m x + c \), এবং এই রেখা \( y^2 = 4ax \) এর স্পর্শক, তাহলে রেখার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক \( m \) এর জন্য, এই রেখা ও \( y^2=4ax \) এর স্পর্শক বিন্দুগুলির জন্য সমান্তরাল হতে হবে। প্রথমত, \( y^2=4ax \) এর টাংজেন্ট (স্পর্শক) এর ধারা: \[ \text{From } y^2 = 4a x \] প্রথম ডেরিভেটিভ: \[ 2 y \frac{dy}{dx} = 4a \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} \] অর্থাৎ, স্পর্শক ধারা এর ঢাল: \[ m_{tangent} = \frac{2a}{y_0} \] অতএব, যেহেতু রেখাটি স্পর্শক, তার ঢাল সমান হবে: \[ m = \frac{2a}{y_0} \] এখন, \( y_0 = m x_0 + c \), এবং \( c = y_0 - m x_0 \). তাই, \[ c = y_0 - m x_0 \] প্রতিস্থাপন করি \( x_0 = \frac{y_0^2}{4a} \) এবং \( m = \frac{2a}{y_0} \): \[ c = y_0 - \left( \frac{2a}{y_0} \right) \times \frac{y_0^2}{4a} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} \] সরলীকরণ: \[ c = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{y_0}{2} = \frac{y_0}{2} \] অতএব, \[ c = \frac{y_0}{2} \] এখন, রেখার সমীকরণে, \( c = y - m x \), তাহলে, \[ c = y_0 - m x_0 \] বিশ্লেষণ করে, \[ c = y_0 - \left( \frac{2a}{y_0} \right) \times \frac{y_0^2}{4a} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{y_0}{2} = \frac{y_0}{2} \] অর্থাৎ, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক: \[ x = x_0 = \frac{y_0^2}{4a} \] \[ y = y_0 \] আমাদের লক্ষ্য, \( (x_0, y_0) \) এর জন্য \( m \) ও \( c \) এর মান নির্ণয় করা। প্রথম, \( m = \frac{2a}{y_0} \), তাই: \[ m = \frac{2a}{y_0} \] \[ c = y_0 - m x_0 = y_0 - \frac{2a}{y_0} \times \frac{y_0^2}{4a} = y_0 - \frac{2a y_0^2}{4a y_0} = y_0 - \frac{y_0}{2} = \frac{y_0}{2} \] এখন, \( c = y_0 - m x_0 \) এ থেকে, আমরা \( c \) এর মান পেয়েছি \( \frac{y_0}{2} \)। পরিশেষে, \( y_0 \) ও \( x_0 \) এর সম্পর্ক দিয়ে \( y_0 \) এর মান নির্ণয় করি। উল্লেখ্য, \( y_0^2 = 4a x_0 \), অর্থাৎ, \[ x_0 = \frac{y_0^2}{4a} \] এবং, রেখার ধরণ থেকে, \[ m = \frac{2a}{y_0} \] প্রতিস্থাপন করে, \( y_0 \) এর মান নির্ণয় করি। এখানে, \( c = \frac{y_0}{2} \), এবং রেখার সমীকরণ \( y = m x + c \) এর জন্য, \[ y_0 = m x_0 + c \] অর্থাৎ, \[ y_0 = \frac{2a}{y_0} \times \frac{y_0^2}{4a} + \frac{y_0}{2} \] সরলীকরণ: \[ y_0 = \frac{2a y_0^2}{4a y_0} + \frac{y_0}{2} = \frac{y_0}{2} + \frac{y_0}{2} = y_0 \] এটি সত্য, অর্থাৎ, আমাদের বর্গের মান নির্ণয় করতে হবে। সুতরাং, \( y_0 \) এর মান: \[ y_0 = 2m \] এবং, \[ x_0 = \frac{(2m)^2}{4a} = \frac{4m^2}{4a} = \frac{m^2}{a} \] তাই, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো: \[ (x, y) = \left( \frac{m^2}{a}, 2m \right) \] এখন, \( y_0 = 2m \), তাই, \[ x = \frac{m^2}{a} \] উপসংহার: **স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক:** \[ \boxed{ \left( \frac{a}{m^2}, 2m \right) } \]