SCIENCE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সবকয়টি বর্ণকে সম্ভাব্য যত উপায়ে সাজানো যায় তাদের সংখ্যা–

Another Explanation (5): প্রশ্ন: SCIENCE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সবকয়টি বর্ণকে সম্ভাব্য যত উপায়ে সাজানো যায় তাদের সংখ্যা নির্ণয় করো। সমাধান: প্রথমে, শব্দটি হলো: SCIENCE স্বরবর্ণগুলো হলো: I, E, E অর্থাৎ, স্বরবর্ণের সংখ্যা = 3 (I, E, E) ব্যাকরণে: স্বরবর্ণের সেট = \(\{I, E, E\}\) বৈশিষ্ট্য: স্বরবর্ণগুলো একই রকমের (E দুটি), তাই permutations এর ক্ষেত্রে সাধারণ permutations এর সূত্র প্রযোজ্য নয়, বরং স্বরবর্ণগুলোকে পৃথক ভাবতে হবে না, কারণ দুটি E সমান। অতএব, স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রাখার জন্য: ধরা যাক, স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রাখার জন্য একটি "ব্লক" হিসেবে বিবেচনা করি। অর্থাৎ, এই ব্লকটি হলো: (I, E, E) হিসেবে এই ব্লকটির ভিতরে permutations গণনা করতে হবে: Number of permutations of \(\{I, E, E\}\) = \(\frac{3!}{2!} = 3\) (কারণ, দুটি E সমান, তাই মোট permutations = \(\frac{3!}{2!}\)) বলা হয়ে গেল, স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে তাদের permutations সংখ্যা = 3 এখন, এই ব্লকটি অন্যান্য ব্যঞ্জনবর্ণের সাথে যুক্ত থাকলে, মোট শব্দের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। শব্দের মোট অক্ষর: S, C, I, E, N, C, E অর্থাৎ, মোট অক্ষর = 7 অভ্যন্তরীণ অক্ষর গণনা: - S: 1 বার - C: 2 বার - I: 1 বার - N: 1 বার - E: 2 বার তাই, সব অক্ষর সমন্বয়ে মোট permutations: \[ \frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260 \] কিন্তু, এখানে আমরা শুধু স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রাখার permutations সংখ্যা গণনা করছি। তাদের একত্রে রাখার জন্য, এই 3 স্বরবর্ণের permutations কে সংখ্যার সাথে গুণ করতে হবে (কারণ, এই permutations স্বরবর্ণের permutations, আর অন্যান্য অক্ষর আলাদা)। তাই, মোট সম্ভাব্য সাজানোর উপায়: \[ \text{Total} = \text{Number of ways to permute consonants and other letters} \times \text{Number of arrangements of the vowel block} \] তাদের মধ্যে: - কনসন্যান্ট অক্ষর (S, C, C, N): এই অক্ষরগুলোকে সংযুক্ত করে, মোট অক্ষর: S, C, C, N - অন্যান্য অক্ষর: I, E, E (স্বরবর্ণগুলো, যেগুলো একত্রে রাখা হয়েছে) তাই, মার্জিনে: Number of arrangements of consonants and other consonants (excluding the vowel block): অক্ষর: S, C, C, N, + একটিভ ব্লক (যেমন, [V]) অতএব, এই মোট অক্ষর হলো: S, C, C, N, (ব্লক) মোট অক্ষর: 5 (ব্লকটিকে এক অক্ষর হিসেবে ধরা হয়েছে) এবং, এই অক্ষরগুলোর permutations: \[ \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \] (কারণ C দুটি সমান) এখন, এই 60-টি arrangementsের প্রতিটিতে, স্বরবর্ণের permutations (3! / 2! = 3) যোগ করতে হব??। অতএব, মোট সম্ভাব্য উপায়: \[ 60 \times 3 = 180 \] উত্তর: \(\boxed{180}\) --- **সারসংক্ষেপ:** - স্বরবর্ণের permutations: \(\frac{3!}{2!} = 3\) - অন্যান্য অক্ষর ও ব্লকের permutations: \( \frac{5!}{2!} = 60 \) - মোট সম্ভাব্য সাজানো উপায়: \(60 \times 3 = 180\) **সুতরাং, উত্তর হল: 180**