Another Explanation (5):
প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান
প্রদত্ত ফাংশন:
\(f(x) = -x^2 - 2x + 5\)
ধাপ ১: প্রথম ডেরিভেটিভ (f'(x)) নির্ণয়
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 - 2x + 5) = -2x - 2
\]
ধাপ ২: ক্রমহ্রাসমান বা বৃদ্ধি নির্ণয়
একটি ফাংশন ক্রমহ্রাসমান হলে, তার ডেরিভেটিভ নেগেটিভ হয়।
অর্থাৎ,
\[
f'(x) < 0 \implies -2x - 2 < 0
\]
সমাধান করি:
\[
-2x - 2 < 0 \implies -2x < 2 \implies x > -1
\]
অতএব, **\(f(x)\) \(\textbf{ক্রমহ্রাসমান}\) হয় যখন \(x > -1\)**।
অর্থাৎ, বিবৃতি (i) সঠিক।
ধাপ ৩: দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ (f''(x)) নির্ণয়
\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x - 2) = -2
\]
এবং,
\[
f''(0) = -2
\]
অতএব, বিবৃতি (iii) সঠিক।
ধাপ ৪: ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয়
Quadratic ফাংশনের সাধারণ রূপ: \(-x^2 - 2x + 5\)
অথবা,
\[
f(x) = - (x^2 + 2x) + 5
\]
পূর্ণবর্গের মাধ্যমে লিখি:
\[
f(x) = - \left( x^2 + 2x + 1 - 1 \right) + 5 = - \left( (x + 1)^2 - 1 \right) + 5
\]
\[
f(x) = - (x + 1)^2 + 1 + 5 = - (x + 1)^2 + 6
\]
এখানে, \(- (x + 1)^2\) সর্বদা নেগেটিভ বা শূন্য।
সুতরাং, সর্বোচ্চ মান হল যখন \((x + 1)^2 = 0\), অর্থাৎ, \(x = -1\)।
ফাংশনের সর্বোচ্চ মান:
\[
f(-1) = 6
\]
কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে, "f(x) এর ক্ষুদ্রতম মান 6"।
এটি ভুল, কারণ ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 6, কিন্তু ক্ষুদ্রতম মান \(-\infty\) পর্যন্ত যায়।
অর্থাৎ, বিবৃতি (ii) ভুল।
সারসংক্ষেপ
- (i) সত্য
- (ii) ভুল
- (iii) সত্য
অতএব, উত্তর: **"i ও iii"**।
