কোন ব্যবধিতে  f(x)=x/(x^2+1)  ক্রমবর্ধমান?

Explanation:

Another Explanation (5): f(x) = \(\frac{x}{x^2 + 1}\) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন হবে সেই ব্যবধিতে যেখানে f'(x) > 0 🤔। প্রথমে, f(x) এর অন্তরকলজ নির্ণয় করি: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \] এখন, f'(x) > 0 হওয়ার শর্ত বের করি: \[ \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} > 0 \] যেহেতু (x^2 + 1)^2 সবসময় ধনাত্মক 🥳, তাই আমরা লিখতে পারি: \[ 1 - x^2 > 0 \] \[ x^2 < 1 \] \[ -1 < x < 1 \] সুতরাং, f(x) ক্রমবর্ধমান হবে যখন x \(\in\) (-1, 1)। 🤩 অতএব, উত্তর: (-1, 1) ✅