z = i - 1 হলে, 

1.  barz = -i-1
2. |z| = √2
3. z এর পোলার আকৃতি  cos (π/4) - i sin(π/4)  

নিচের কোনটি সঠিক ? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন অনুযায়ী, \( z = i - 1 \) প্রথমে, \( z \) এর মান নির্ণয় করি: \[ z = i - 1 \] ### 1. \( \bar{z} \) নির্ণয়: \[ \bar{z} = \text{conjugate of } z = -i - 1 \] **সঠিক।** এটি মূলের বাস্তব অংশ অপরিবর্তিত থাকে ও কল্পবৃত্তের সংকেত পরিবর্তিত হয়। --- ### 2. \( |z| \) নির্ণয়: \[ |z| = \sqrt{(\text{real part})^2 + (\text{imaginary part})^2} \] \[ \Rightarrow |z| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] **সঠিক।** --- ### 3. Z এর পোলার রূপ: প্রথমে, \( z = -1 + i \) অর্থাৎ, বাস্তব অংশ \( r = -1 \), কল্পবৃত্তের কোণ \( \theta \): \[ \theta = \arctan\left(\frac{\text{imaginary}}{\text{real}}\right) = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) = \arctan(-1) \] যেহেতু বাস্তব অংশ ঋণাত্মক ও কল্পবৃত্ত ইতিবাচক, তাই কোণটি দ্বিতীয় কোণে হবে: \[ \theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \] সুতরাং, পোলার রূপ: \[ z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \] \[ r = |z| = \sqrt{2} \] \[ \theta = \frac{3\pi}{4} \] এখন, \( \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) এবং, \( \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) অর্থাৎ, পোলার রূপ: \[ z = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 + i \] অর্থাৎ, পোলার রূপ: \[ z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \] কিন্তু বিকল্পে উল্লেখ করা হয়েছে: \[ \cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} \] যা হলো: \[ \cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \] এটি \( e^{-i \pi/4} \)-এর সমান, যা অন্য দিকের কোণ নির্দেশ করে। তবে, আমাদের মূল কোণ \( 3\pi/4 \), যা \( e^{i 3\pi/4} \)-এর সমান। তাই, পোলার রূপটি এই ক্ষেত্রে: \[ z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \] অর্থাৎ, \( \cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} \) এর সাথে সরাসরি সমান নয়। ### উপসংহার: - **ii.** সঠিক। - **iii.** ভুল, কারণ কোণটি \( 3\pi/4 \), যা \( \pi/4 \)-এর বিপরীত দিকের কোণ। --- ## চূড়ান্ত উত্তর: **"i ও ii"** সঠিক।