Z জটিল সংখ্যা এবং
barZ এর অনুবন্ধী হলে,
- |Z| >|barZ|
- Z + barZ.ZbarZ ε R
- |Z|^2 = ZbarZ = |barZ|^2
নিচের কোনটি সঠিক?
সঠিক উত্তরঃ
C.
ii ও iii
Another Explanation (5): প্রশ্ন: Z জটিল সংখ্যা এবং \(\overline{Z}\) এর অনুবন্ধী হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
(i) \(|Z| > |\overline{Z}|\)
(ii) \(Z + \overline{Z} \in \mathbb{R}\)
(iii) \(|Z|^2 = Z \overline{Z} = |\overline{Z}|^2\)
উত্তর: "ii ও iii"
---
**সমাধান:**
ধরা যাক, \( Z = x + iy \), যেখানে \( x, y \in \mathbb{R} \)।
**1. \( \overline{Z} = x - iy \)**
**2. নীতি:**
\[
|Z| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
\[
|\overline{Z}| = \sqrt{x^2 + y^2} = |Z|
\]
অর্থাৎ,
\[
|Z| = |\overline{Z}|
\]
এখানে, (i) টি ভুল, কারণ \(|Z| \neq |\overline{Z}|\) এর ক্ষেত্রেও সমান হয়। তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে, \( Z \) এবং \( \overline{Z} \) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করতে।
---
### (ii) \( Z + \overline{Z} \in \mathbb{R} \)
\[
Z + \overline{Z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x
\]
যেহেতু \( 2x \) একটি বাস্তব সংখ্যা, তাই:
\[
Z + \overline{Z} \in \mathbb{R}
\]
**সুতরাং, (ii) সঠিক।**
---
### (iii) \( |Z|^2 = Z \overline{Z} = |\overline{Z}|^2 \)
\[
|Z|^2 = (x)^2 + (y)^2
\]
\[
Z \overline{Z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2
\]
এবং,
\[
|\overline{Z}|^2 = (x)^2 + (y)^2
\]
অর্থাৎ,
\[
|Z|^2 = Z \overline{Z} = |\overline{Z}|^2
\]
**সুতরাং, (iii) সঠিক।**
---
### **উপসংহার:**
প্রশ্নের উত্তর: **"ii ও iii"**।
