Explanation: দুটি সদৃশ অগ্রগামী তরঙ্গ \( \frac{\pi}{2} \) দশা পার্থক্য নিয়ে একত্রে ধাবিত হলে লব্ধ তরঙ্গটির বিস্তার \( \sqrt{2}y_m \) হয়। লব্ধ বিস্তার নির্ণয় করা হয় \( R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos\phi} \) সূত্রে, যেখানে \( A = B = y_m \), এবং \( \phi = \frac{\pi}{2} \)। সুতরাং \( R = \sqrt{y_m^2 + y_m^2 + 2y_m^2 \cos\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2}y_m \)।
Another Explanation (5):
দশা পার্থক্য ও বিস্তার: লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার নির্ণয়
দুটি সদৃশ অগ্রগামী তরঙ্গ একই দিকে ধাবিত হচ্ছে। তাদের দশা পার্থক্য \( \frac{\pi}{2} \)। প্রতিটি তরঙ্গের বিস্তার \( y_m \) হলে, লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, তরঙ্গ দুটির সমীকরণ হলো:
\( y_1 = y_m \sin(\omega t) \)
\( y_2 = y_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) \)
লব্ধি তরঙ্গ \( y \) হবে তরঙ্গ দুটির যোগফল:
\( y = y_1 + y_2 \)
\( y = y_m \sin(\omega t) + y_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) \)
\( y = y_m [\sin(\omega t) + \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})] \)
আমরা জানি, \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
সুতরাং, \( \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(\omega t) \sin(\frac{\pi}{2}) \)
যেহেতু, \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) এবং \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \)
সুতরাং, \( \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \cos(\omega t) \)
তাহলে, \( y = y_m [\sin(\omega t) + \cos(\omega t)] \)
এখন, \( \sin(\omega t) + \cos(\omega t) \) কে \( R\sin(\omega t + \alpha) \) আকারে প্রকাশ করতে হবে।
ধরি, \( R\sin(\omega t + \alpha) = R\sin(\omega t)\cos(\alpha) + R\cos(\omega t)\sin(\alpha) \)
তুলনা করে পাই,
\( R\cos(\alpha) = 1 \) এবং \( R\sin(\alpha) = 1 \)
অতএব, \( R^2\cos^2(\alpha) + R^2\sin^2(\alpha) = 1^2 + 1^2 \)
\( R^2 (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) = 2 \)
\( R^2 = 2 \)
\( R = \sqrt{2} \)
সুতরাং, লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার \( Y_m = \sqrt{2} y_m \)। 🎉
