6 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 5 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে অন্তত একজন ছাত্র ও একজন ছাত্রী অন্তর্ভুক্ত থাকে। কত বিভিন্ন প্রকারে এ কমিটি গঠন করা যেতে পারে ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে আমাদের 6 জন ছাত্র ও 5 জন ছাত্রী থেকে 5 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যেখানে অন্তত একজন ছাত্র ও একজন ছাত্রী থাকতে হবে।

এটি একটি কম্বিনেটরিক সমস্যা। প্রথমে আমরা মোট সম্ভাব্য কমিটি গঠন করি এবং পরে সেই কমিটি গুলির মধ্যে অবৈধ (যেখানে ছাত্র বা ছাত্রী অনুপস্থিত) গুলি বাদ দেব।

ধাপ 1: মোট সম্ভাব্য কমিটি গঠন

সকল ছাত্র ও ছাত্রী মোট ১১ জন (6 ছাত্র + 5 ছাত্রী)। এই ১১ জন থেকে 5 জনের কমিটি গঠন করার সম্ভাব্য উপায় :

\[ \binom{11}{5} \]

ধাপ 2: অবৈধ কমিটি গুলি বাদ দিন

অবৈধ কমিটি গুলি হলো, যেগুলিতে শুধুমাত্র ছাত্র বা শুধুমাত্র ছাত্রীই থাকছে না।

কমিটি যেখানে শুধুমাত্র ছাত্র থাকবে:

6 জন ছাত্রের মধ্যে 5 জন নির্বাচন করুন:

কমিটি যেখানে শুধুমাত্র ছাত্রী থাকবে:

5 জন ছাত্রী মধ্যে 5 জন নির্বাচন করুন:

ধাপ 3: ফলাফল গণনা

অতএব, বৈধ কমিটি গুলির সংখ্যা হলো মোট সম্ভাব্য কমিটি গুলির মধ্যে থেকে অবৈধ গুলি বাদ দিয়ে: \[ \text{বৈধ কমিটি} = \binom{11}{5} - \left( \binom{6}{5} + \binom{5}{5} \right) \] অতএব, \[ \begin{aligned} \binom{11}{5} &= \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 462 \\ \binom{6}{5} &= 6 \\ \binom{5}{5} &= 1 \\ \end{aligned} \] সুতরাং, \[ \text{বৈধ কমিটি} = 462 - (6 + 1) = 462 - 7 = 455 \]

উত্তর:

অতএব, বিভিন্ন প্রকারে এ কমিটি গঠন করা যেতে পারে = 455