'CALCULUS' শব্দটির সবগুলো অক্ষর (বিদ্যমান পুনরাবৃত্তিসহ) একত্রে নিয়ে কত ভাবে সাজানো যায় যেন প্রথম ও শেষ অক্ষর সর্বদা C হয়।

সমাধান:

প্রথম ও শেষ অক্ষর অবশ্যই 'C' হবে বলে ধরা হয়েছে।

প্রথম অক্ষর: C
শেষ অক্ষর: C

অর্থাৎ, 'C' দুটি অবস্থানে স্থাপন করা হয়েছে।

অন্য অক্ষরসমূহ: A, L, U, L, U, S

অক্ষরসমূহের মধ্যে পুনরাবৃত্তি: L (2 বার), U (2 বার)

ধাপ ১: অবশিষ্ট অক্ষরসমূহের সমন্বয় নির্ণয়

অবশিষ্ট অক্ষর: A, L, U, L, S (5টি অক্ষর)

এখানে L দুটি ও U দুটি, বাকিগুলি একক।

ধাপ ২: অক্ষরসমূহের মোট সংখ্যা নির্ণয়

মোট অক্ষর: A, L, L, U, U, S

ধাপ ৩: অক্ষরসমূহের পারমুটেশন গণনা

অক্ষরসমূহের পারমুটেশন সংখ্যা: \[ \frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{2 \times 2} = \frac{720}{4} = 180 \]

ধাপ ৪: প্রথম ও শেষ অক্ষর নির্ধারণ

প্রথম অক্ষর: C, শেষ অক্ষর: C, এই দুটি নির্দিষ্ট।

অতএব, মূল অক্ষরসমূহের মধ্যে প্রথম ও শেষ অক্ষর নির্ধারণের জন্য কেবলমাত্র ১টি উপায়।

অর্থাৎ, অক্ষরসমূহের মধ্যে প্রথম ও শেষ অক্ষর নির্ধারণের পরে, অবশিষ্ট 4টি অক্ষর (A, L, L, U, U, S) মধ্যে পারমুটেশন গণনা করতে হবে।

অতএব, মোট পারমুটেশন সংখ্যা: \[ \boxed{180} \]