x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5, x + 2y ≥ 8 শর্তানুসারে z = 2x - y এর সর???বনিম্ন মান -

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত শর্তাবলী হলো:

• \( x \geq 0 \)
• \( y \geq 0 \)
• \( x + y \leq 5 \)
• \( x + 2y \geq 8 \)

আমাদের লক্ষ্য হলো:
সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করুন \( z = 2x - y \) জন্য।

ধাপ 1: সীমাবদ্ধতা অঙ্কন ও সীমান্ত নির্ণয়

প্রথমত, সীমান্ত রেখাগুলি সমাধান করি:

1. \( x + y = 5 \)
2. \( x + 2y = 8 \)

সমাধান করি \( x + 2y = 8 \) থেকে:

\( x = 8 - 2y \)

এবং \( x + y \leq 5 \) এর জন্য:

\( 8 - 2y + y \leq 5 \)

\( 8 - y \leq 5 \)

\( -y \leq -3 \)

\( y \geq 3 \)

এখন, \( y \geq 3 \) এর জন্য, \( x = 8 - 2y \) হবে: - যখন \( y = 3 \), \( x = 8 - 6 = 2 \) - যখন \( y \) বাড়বে, \( x \) কমবে। অতএব, সীমান্ত বিন্দুগুলি হলো: - \( y = 3 \), \( x = 2 \) - \( y \to \infty \), কিন্তু সীমাবদ্ধতা অনুযায়ী \( y \geq 3 \), এবং \( x \geq 0 \) তবে, \( x \geq 0 \) নিশ্চিত করতে হবে: \( x = 8 - 2y \geq 0 \Rightarrow 8 - 2y \geq 0 \Rightarrow y \leq 4 \) এবং যেহেতু \( y \geq 3 \), তাহলে: \( 3 \leq y \leq 4 \) সুতরাং, সীমান্ত বিন্দুগুলি হলো: - \( (x, y) = (2, 3) \) - \( (x, y) = (0, 4) \) অতএব, সীমান্ত সীমাগুলি হলো: - রেখা 1: \( x + y = 5 \) - রেখা 2: \( x + 2y = 8 \) এবং সীমাবদ্ধতা বলছে যে সীমান্তের ভিতরে বা রেখায় থাকতে হবে।

ধাপ 2: সম্ভাব্য কপিকল বিন্দুগুলি নির্ণয় করুন

সীমান্তের আন্তঃসংযোগ বিন্দুগুলি হলো: - বিন্দু A: \( (x, y) = (2, 3) \) (দুটি রেখার মিলন) - বিন্দু B: \( (x, y) = (0, 4) \) (দুটি রেখার মিলন)

ধাপ 3: মান মূল্যায়ন করুন \( z = 2x - y \) এই বিন্দুগুলিতে

1. বিন্দু A: \( (2, 3) \) \( z = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \) 2. বিন্দু B: \( (0, 4) \) \( z = 2(0) - 4 = 0 - 4 = -4 \) এছাড়াও, সীমান্তের বাইরে বা ভেতরে অন্যান্য বিন্দুতে \( z \) এর মান নির্ণয় করে দেখলে, সর্বনিম্ন মান হবে এই বিন্দুগুলিতে।

ধাপ 4: সর্বনিম্ন মান নির্ণয়

সর্বনিম্ন মান হবে: \( z_{min} = -4 \), যা বিন্দু \( (0, 4) \) এ পাওয়া যায়। তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে "-5"। এটি সম্ভবত ভুল বা প্রশ্নের অন্য কোন অংশের জন্য হতে পারে। তবে, গণনা অনুযায়ী সর্বনিম্ন মান হলো \(-4\)।