যদি y=ax sinx হয়, তবে x²y₂– 2xy₁+(x²+2)y এর মান নিচের কোনটি?

দেওয়া আছে, \(y = ax \sin x\)

প্রথম অন্তরকলজ, \(y_1 = \frac{dy}{dx} = a(\sin x + x \cos x)\)

দ্বিতীয় অন্তরকলজ, \(y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = a(\cos x + \cos x - x \sin x) = a(2\cos x - x \sin x)\)

এখন, \(x^2y_2 - 2xy_1 + (x^2+2)y\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

\(\implies x^2y_2 = x^2 a(2\cos x - x \sin x) = a(2x^2\cos x - x^3 \sin x)\)

\(\implies 2xy_1 = 2x \cdot a(\sin x + x \cos x) = a(2x\sin x + 2x^2 \cos x)\)

\(\implies (x^2+2)y = (x^2+2) \cdot ax \sin x = a(x^3 \sin x + 2x \sin x)\)

সুতরাং,

\(x^2y_2 - 2xy_1 + (x^2+2)y = a(2x^2\cos x - x^3 \sin x) - a(2x\sin x + 2x^2 \cos x) + a(x^3 \sin x + 2x \sin x)\)

\(= a(2x^2\cos x - x^3 \sin x - 2x\sin x - 2x^2 \cos x + x^3 \sin x + 2x \sin x)\)

\(= a(0) = 0\)

অতএব, \(x^2y_2 - 2xy_1 + (x^2+2)y = 0\)

সুতরাং, উত্তর: 0

✅