অধিবৃত্ত y² = 4x এবংy = x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের কর।

1. প্রথমে, অধিবৃত্ত y² = 4x এবং রেখা y = x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয় করি।
2. অধিবৃত্তের স্থানাঙ্ক সমীকরণ: \( y^2 = 4x \Rightarrow x = \frac{y^2}{4} \)
3. রেখা: \( y = x \)
4. সীমা নির্ণয় করতে, দুই সমীকরণের সমাধান করি: \( y = \frac{y^2}{4} \)।
5. এটি সমাধান করি: \( y = \frac{y^2}{4} \Rightarrow 4y = y^2 \Rightarrow y^2 - 4y = 0 \Rightarrow y(y - 4) = 0 \)
6. অর্থাৎ, \( y = 0 \) অথবা \( y = 4 \)।
7. প্রতিবন্ধ ক্ষেত্রের সীমা নির্ণয় করি: \( y \) এর জন্য 0 থেকে 4।
8. ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \( A \) হবে:

<code>
A = &int_{y=0}^{4} (x_{বাম}) - (x_{ডান})\, dy
  = &int_{0}^{4} \left(\frac{y^2}{4} - y \right) dy
</code>

8. এখন, ইন্টিগ্রাল সমাধান করি:

<code>
A = \int_{0}^{4} \left(\frac{y^2}{4} - y \right) dy
  = \int_{0}^{4} \frac{y^2}{4} dy - \int_{0}^{4} y dy
  = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} y^2 dy - \int_{0}^{4} y dy
</code>

9. প্রথম ইন্টিগ্রাল সমাধান করি:

<code>
\frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^4 - \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4
= \frac{1}{4} \left( \frac{4^3}{3} - 0 \right) - \left( \frac{4^2}{2} - 0 \right)
= \frac{1}{4} \left( \frac{64}{3} \right) - \frac{16}{2}
= \frac{64}{12} - 8
= \frac{16}{3} - 8
</code>

10. দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল সমাধান করি:

<code>
= \frac{16}{3} - 8
= \frac{16}{3} - \frac{24}{3}
= - \frac{8}{3}

1. অতএব, ক্ষেত্রফল হবে:

ক্ষেত্রফল \( = \left| - \frac{8}{3} \right| = \frac{8}{3} \text{ বর্গ একক} \)

উত্তর: 8/3 বর্গ একক