\(2i\) এর বর্গমূল -

প্রশ্ন: \(2i\) এর বর্গমূল নির্ণয় করো।

আমরা জানি, যদি \(z = a + bi\) হয়, তবে তার বর্গমূল হলো সেই সংখ্যা \(w = x + yi\) যা নিম্নলিখিত সমীকরণ পূরণ করে:

\(w^2 = z\)

অর্থাৎ,

\((x + yi)^2 = 2i
\)

বর্গের বিস্তৃতি অনুসারে:

\(x^2 + 2xyi + y^2 i^2 = 2i\)

এখানে, \(i^2 = -1\), তাই:

\(x^2 + 2xyi - y^2 = 2i\)

অর্থাৎ, বাস্তব অংশ ও কাল্পনিক অংশ সমীকরণ হিসেবে পেতে পারি:

বাস্তব অংশ: \(x^2 - y^2 = 0\)

কাল্পনিক অংশ: \(2xy = 2\)

প্রথম সমীকরণ থেকে:

\(x^2 = y^2\)

\(x = \pm y\)

1. যদি \(x = y\), তবে:

\(2xy = 2 \Rightarrow 2x \cdot x = 2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)

\(x = y \Rightarrow y = \pm 1\)

\(w = x + yi = \pm 1 + \pm 1 i\)

2. যদি \(x = - y\), তবে:

\(2xy = 2 \Rightarrow 2x \cdot (-x) = 2 \Rightarrow -2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = -1\),
যা অসম্ভব বাস্তব সংখ্যার জন্য।

\(w = \pm (1 + i)\)

সুতরাং, \(2i\) এর বর্গমূল হলো:

\(\boxed{\pm (1 + i)}\)