জটিল সংখ্যার বর্গমূল- 

Another Explanation (5):

জটিল সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করতে, ধরা যাক একটি জটিল সংখ্যা \(z = a + bi\), যেখানে \(a\) এবং \(b\) বাস্তব সংখ্যা।

আমরা চাই \(w = x + yi\) এর জন্য, যেখানে \(x, y \in \mathbb{R}\), যে:

\[ w^2 = z \] অর্থাৎ, \[ (x + yi)^2 = a + bi \]

বর্গটি খুলি:

\[ x^2 + 2xyi - y^2 = a + bi \]

অতএব, বাস্তব অংশ সমান হয়:

\[ x^2 - y^2 = a \] এবং কাল্পনিক অংশ সমান হয়:

\[ 2xy = b \]

এখন, \(x\) বা \(y\) নির্ণয় করতে, প্রথমে \(x\) নির্ণয় করি।

প্রথমে, \(x\) এর জন্য, আমরা নিম্নলিখিত দুটি সমীকরণ থেকে শুরু করব:

\[ x^2 - y^2 = a \quad \Rightarrow \quad y^2 = x^2 - a \] \[ 2xy = b \quad \Rightarrow \quad y = \frac{b}{2x} \]

এখন, \(y^2\) এর মান যোগ করি:

\[ \left(\frac{b}{2x}\right)^2 = x^2 - a \] \[ \frac{b^2}{4x^2} = x^2 - a \]

উভয় পাশে গুণ করে \(4x^2\):

\[ b^2 = 4x^2(x^2 - a) \] \[ b^2 = 4x^4 - 4a x^2 \]

এখন, \(t = x^2\) ধরি, তাহলে:

\[ 4t^2 - 4a t - b^2 = 0 \]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ:

\[ t^2 - a t - \frac{b^2}{4} = 0 \]

সমাধান সূত্র প্রয়োগ করে:

\[ t = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + b^2}}{2} \]

যেহেতু \(t = x^2 \geq 0\), আমরা উপযুক্ত মান নির্বাচন করব:

\[ x = \pm \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} \] অথবা \[ x = \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} \]

এবং, \(y\) নির্ণয় করতে, আমরা ব্যবহার করি:

\[ y = \frac{b}{2x} \]

অতএব, জটিল সংখ্যার বর্গমূলের দুটি মূল হবে:

\[ w = \pm \left( x + yi \right) \]

এখানে, \(x\) এবং \(y\) এর মান উপরের সূত্র থেকে নির্ণয় করা হয়।