ax+by+c = 0 সরলরেখাটি  y² = 4px  পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে কোনটি সঠিক হবে?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(ax + by + c = 0\) সরলরেখাটি \(y^2 = 4px\) পরাবৃত্তিকে স্পর্শ করলে কোনটি সঠিক হবে? উত্তর: \(ac = pb^2\) --- সমাধান: ধরা যাক, সরলরেখা: \(ax + by + c = 0\) পরাবর্তী: \(y^2 = 4px\) প্রথমে, সরলরেখাকে \(x\) এর সমাধানে প্রকাশ করি: \[ ax + by + c = 0 \Rightarrow x = -\frac{by + c}{a} \] এখন, এই মানটি পরাবর্তীর সমীকরণে বসাব: \[ y^2 = 4p \left( -\frac{by + c}{a} \right) \] \[ \Rightarrow y^2 = - \frac{4p}{a} (by + c) \] এখন, উভয় পাশে \(a\) দিয়ে গুণ করি: \[ a y^2 = -4p (b y + c) \] বিস্তার করি: \[ a y^2 + 4 p b y + 4 p c = 0 \] এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \(a y^2 + 4 p b y + 4 p c = 0\)। যেহেতু সরলরেখা পরাবর্তীকে স্পর্শ করছে, তাই এই সমীকরণের একমাত্র সমাধান থাকবে। অর্থাৎ, এর ডিটারমিন্যান্ট শূন্য হতে হবে: \[ D = (4 p b)^2 - 4 \times a \times 4 p c = 0 \] \[ 16 p^2 b^2 - 16 a p c = 0 \] দুটি পাশে 16 দিয়ে ভাগ করি: \[ p^2 b^2 - a p c = 0 \] এখানে, \(p \neq 0\) (কারণ পরাবর্তীর জন্য \(p\) শূন্য নয়): \[ p^2 b^2 = a p c \] উভয় পাশে \(p\) দিয়ে ভাগ করি: \[ p b^2 = a c \] অর্থাৎ, \[ a c = p b^2 \] অতএব, সঠিক উত্তর হলো: **\(\boxed{a c = p b^2}\)**