Sincot^-1tancos^-1x = 1/2 হলে x =?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \sin^{-1} t \cdot \csc^{-1} x = \frac{1}{2} \) হলে \( x \) এর মান নির্ণয় করো। সমাধান: দেওয়া আছে: \[ \sin^{-1} t \cdot \csc^{-1} x = \frac{1}{2} \] এখানে, \( \csc^{-1} x \) অর্থাৎ \( \csc^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x} \) (কারণ, \(\csc^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}\) যখন \(x \neq 0\) এবং \(|x| \geq 1\))। অর্থাৎ, \[ \sin^{-1} t \cdot \sin^{-1} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \] আমরা জানি, \( \sin^{-1} t \) এর মান \( \theta \) হিসেবে ধরি। তাহলে, \[ \theta \cdot \sin^{-1} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \] অর্থাৎ, \[ \sin^{-1} \frac{1}{x} = \frac{1}{2\theta} \] তাহলে, \[ \frac{1}{x} = \sin \left( \frac{1}{2\theta} \right) \] এবং, \[ x = \frac{1}{\sin \left( \frac{1}{2\theta} \right)} \] কিন্তু, আমাদের মূল লক্ষ্য হলো \( x \) এর মান নির্ণয় করা। যেহেতু এই সমীকরণে \( t \) এর মান দেওয়া হয়নি, তাহলে সাধারণত \( t \) এর মানের উপর ভিত্তি করে \( x \) নির্ণয় করতে হবে। তবে, যদি ধরে নেওয়া হয় যে \( t \) এর মানে \( t = 1 \) (অর্থাৎ, \(\sin^{-1} 1 = \frac{\pi}{2}\)): তাহলে, \[ \sin^{-1} t = \frac{\pi}{2} \] অতএব, \[ \frac{\pi}{2} \cdot \csc^{-1} x = \frac{1}{2} \] এখানে, \[ \csc^{-1} x = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\pi} = \frac{1}{\pi} \] অর্থাৎ, \[ \csc^{-1} x = \frac{1}{\pi} \] এর মানে, \[ x = \csc \left( \frac{1}{\pi} \right) = \frac{1}{\sin \left( \frac{1}{\pi} \right)} \] প্রকৃতপক্ষে, এই সমাধানটি সাধারণত সরাসরি \( x \) এর জন্য নির্ণয় করে না কারণ \( t \) এর মান জানা হয়নি। যদি ধরা হয় যে, সমীকরণের মানে হলো সরাসরি \( \sin^{-1} t = \frac{1}{2} \), তাহলে: \[ \sin^{-1} t = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \sin \left( \frac{1}{2} \right) \] তাহলে, মূল সমীকরণটি: \[ \sin^{-1} t \cdot \csc^{-1} x = \frac{1}{2} \] অর্থাৎ, \[ \frac{1}{2} \cdot \csc^{-1} x = \frac{1}{2} \] অতএব, \[ \csc^{-1} x = 1 \] এবং, \[ x = \csc 1 \] এখানে, 1 রেডিয়ান মানে: \[ x = \frac{1}{\sin 1} \] তাই, **উত্তর:** \[ \boxed{ x = \frac{1}{\sin 1} } \] যেখানে, \(\sin 1 \approx 0.84147\), তাই, \[ x \approx \frac{1}{0.84147} \approx 1.188 \] **সুতরাং, মূল সমাধান অনুযায়ী, \( x = \frac{1}{\sin 1} \)।