sin(tan^-11/2 + cot^-13) = কত ?

Another Explanation (5):

প্রথমে, আমাদের প্রশ্ন:
\( \sin \left( \tan^{-1} \frac{1}{2} + \cot^{-1} 3 \right) \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

ধরি,
\( A = \tan^{-1} \frac{1}{2} \) এবং \( B = \cot^{-1} 3 \)।

তাহলে,
\( \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)।

প্রথমে, \( A = \tan^{-1} \frac{1}{2} \):
তাহলে, \( \tan A = \frac{1}{2} \)।
একটি রিশি ত্রিভুজে, যেখানে বিপরীত বাহু = 1 এবং সমতল বাহু = 2, তাহলে হাইপোতেনিউজ হবে:

\( r = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)

অতএব,
\( \sin A = \frac{\text{বিপরীত}}{\text{হাইপোতেনিউজ}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \)
এবং,
\( \cos A = \frac{\text{অভিমুখ}}{\text{হাইপোতেনিউজ}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)।

পরবর্তী, \( B = \cot^{-1} 3 \):
তাহলে, \( \cot B = 3 \)।
অর্থাৎ, \( \tan B = \frac{1}{3} \)।
একটি রিশি ত্রিভুজে, যেখানে অভিমুখ = 1 এবং বিপরীত = 3, তাহলে হাইপোতেনিউজ হবে:

\( r = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \)

\( \sin B = \frac{\text{বিপরীত}}{\text{হাইপোতেনিউজ}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)

\( \cos B = \frac{\text{অভিমুখ}}{\text{হাইপোতেনিউজ}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \)

এখন,
\[ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] এবং, উপরে মানগুলি এখানে বসিয়ে দিচ্ছি: \[ = \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{10}} \right) + \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{3}{\sqrt{10}} \right) \] এখন, সাধারণ হরাইজে নিয়ে আসি: \[ = \frac{1}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} + \frac{2 \times 3}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{1 + 6}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} \] প্রথমে, ডিনোমিনেটরকে সরল করি: \[ \sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{5 \times 10} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \] সুতরাং, \[ \sin (A + B) = \frac{7}{5 \sqrt{2}} \] এখন, রেশমে রূপান্তর করি: \[ = \frac{7}{5 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{7 \sqrt{2}}{10} \] অতএব,
\[ \boxed{\sin \left( \tan^{-1} \frac{1}{2} + \cot^{-1} 3 \right) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}} \]