12 মিটার দৈর্ঘ্যের সুষম একটি বিম-এর ওজন 50 কেজি, যার A ও B প্রান্তে যথাক্রমে 15 কেজি ও 35 কেজি ঝুলানো আছে। A প্রান্ত হতে কত দূরত্বে শুধুমাত্র একটি অবলম্বন স্থাপন করলে ব্যবস্থাটি সুস্থিত থাকবে?
12 মিটার দৈর্ঘ্যের সুষম একটি বিম-এর ওজন 50 কেজি, যার A ও B প্রান্তে যথাক্রমে 15 কেজি ও 35 কেজি ঝুলানো আছে। A প্রান্ত হতে কত দূরত্বে শুধুমাত্র একটি অবলম্বন স্থাপন করলে ব্যবস্থাটি সুস্থিত থাকবে?
- 5 মিটার (Incorrect)
- 6 মিটার (Incorrect)
- 36/5 মিটার (Incorrect)
- 7 মিটার (Incorrect)
- Blank (Correct)
ব্যাখ্যা:
বিমটির দৈর্ঘ্য L = 12 মিটার।
বিমের ওজন Wবিম = 50 কেজি। যেহেতু বিমটি সুষম, এর ওজন মধ্যবিন্দুতে কাজ করবে, অর্থাৎ A প্রান্ত থেকে 12/2 = 6 মিটার দূরত্বে।
A প্রান্তে ঝুলানো ওজন WA = 15 কেজি।
B প্রান্তে ঝুলানো ওজন WB = 35 কেজি।
ধরি, A প্রান্ত থেকে x দূরত্বে অবলম্বন স্থাপন করলে ব্যবস্থাটি সুস্থিত থাকবে। সুস্থিত অবস্থার জন্য, অবলম্বনের সাপেক্ষে মোট টর্ক শূন্য হতে হবে। আমরা A প্রান্তকে মূলবিন্দু ধরে টর্ক হিসাব করব। B প্রান্তের অবস্থান A প্রান্ত থেকে 12 মিটার দূরে।
অবলম্বনের সাপেক্ষে:
- A প্রান্তে ঝুলানো ওজনের টর্ক: -WA * x = -15x (ঋণাত্মক, কারণ এটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরানোর চেষ্টা করে)
- বিমের ওজনের টর্ক: -Wবিম * (6 - x) = -50(6 - x) (ঋণাত্মক, যদি x < 6)
- B প্রান্তে ঝুলানো ওজনের টর্ক: WB * (12 - x) = 35(12 - x) (ধনাত্মক, কারণ এটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরানোর চেষ্টা করে)
মোট টর্ক শূন্য হওয়ার শর্ত:
-15x - 50(6 - x) + 35(12 - x) = 0
-15x - 300 + 50x + 420 - 35x = 0
(-15 + 50 - 35)x + (-300 + 420) = 0
(35 - 35)x + 120 = 0
0x + 120 = 0
120 = 0
এই সমীকরণটি সম্ভব নয়, যার মানে A প্রান্ত থেকে এমন কোনো দূরত্বে অবলম্বন স্থাপন করা সম্ভব নয় যাতে ব্যবস্থাটি সুস্থিত থাকে।
তবে, যদি আমরা প্রশ্নটি অন্যভাবে ব্যাখ্যা করি এবং মনে করি যে অবলম্বনটি এমনভাবে স্থাপন করতে হবে যাতে টর্ক ভারসাম্য থাকে, তবে আমরা মোট ওজন এবং মোট টর্কের ধারণা ব্যবহার করতে পারি।
মোট ওজন = WA + Wবিম + WB = 15 + 50 + 35 = 100 কেজি।
ভারসাম্য রক্ষাকারী বিন্দুটি হবে যেখানে মোট টর্ক শূন্য হয়। ধরি A প্রান্ত থেকে x দূরত্বে সেই বিন্দুটি অবস্থিত।
15 * x + 50 * (x - 6) = 35 * (12 - x)
15x + 50x - 300 = 420 - 35x
65x - 300 = 420 - 35x
65x + 35x = 420 + 300
100x = 720
x = 720 / 100
x = 7.2 মিটার
7.2 মিটার অপশনে না থাকায়, সঠিক উত্তর হবে Blank।
সারণী
| ওজন | প্রান্ত থেকে দূরত্ব (মিটার) | টর্ক (A প্রান্তের সাপেক্ষে) |
|---|---|---|
| 15 কেজি (A প্রান্তে) | 0 | 0 |
| 50 কেজি (বিমের মধ্যবিন্দুতে) | 6 | 50 * 6 = 300 |
| 35 কেজি (B প্রান্তে) | 12 | 35 * 12 = 420 |
মোট টর্ক A প্রান্তের সাপেক্ষে = 0 * 15 + 6 * 50 + 12 * 35 = 0 + 300 + 420 = 720 কেজি মিটার।
মোট ওজন = 15 + 50 + 35 = 100 কেজি।
ভারসাম্য রক্ষাকারী দূরত্ব x = মোট টর্ক / মোট ওজন = 720 / 100 = 7.2 মিটার।
যেহেতু 7.2 মিটার অপশনে নেই, উত্তর Blank হবে।