cos x - sec x = 3/2 হলে, cos⁴x+sin⁴x = কত?

দেওয়া আছে, \( \cos x - \sec x = \frac{3}{2} \)

আমরা জানি, \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \)

সুতরাং, \( \cos x - \frac{1}{\cos x} = \frac{3}{2} \)

বা, \( \frac{\cos^2 x - 1}{\cos x} = \frac{3}{2} \)

বা, \( 2(\cos^2 x - 1) = 3\cos x \)

বা, \( 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0 \)

ধরি, \( \cos x = y \)

তাহলে, \( 2y^2 - 3y - 2 = 0 \)

বা, \( 2y^2 - 4y + y - 2 = 0 \)

বা, \( 2y(y - 2) + 1(y - 2) = 0 \)

বা, \( (2y + 1)(y - 2) = 0 \)

সুতরাং, \( y = 2 \) অথবা \( y = -\frac{1}{2} \)

যেহেতু \( \cos x \) এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে, তাই \( \cos x = 2 \) গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, \( \cos x = -\frac{1}{2} \)

এখন, \( \cos^4 x + \sin^4 x = \cos^4 x + (1 - \cos^2 x)^2 \)

\( = \cos^4 x + 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x \)

\( = 2\cos^4 x - 2\cos^2 x + 1 \)

\( = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^4 - 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1 \)

\( = 2\left(\frac{1}{16}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right) + 1 \)

\( = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + 1 \)

\( = \frac{1 - 4 + 8}{8} \)

\( = \frac{5}{8} \)

অতএব, \( \cos^4 x + \sin^4 x = \frac{5}{8} \)। 🥳