tan^-1x+tan^-1 (1/X)  এর মান কত?

দেওয়া আছে, \( \tan^{-1}x + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। 🤔

আমরা জানি, \( \tan^{-1}x \) একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক। এক্ষেত্রে \(x\) এর মানের উপর ভিত্তি করে এর মান ভিন্ন হতে পারে। 🤓

ক্ষেত্র ১: যখন \( x > 0 \)

যদি \( x > 0 \) হয়, তবে \( \tan^{-1}x \) এবং \( \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \) উভয়েই প্রথম চতুর্ভাগে (Quadrant I) থাকবে। 🤩

আমরা জানি, \( \tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} \)।

যেহেতু \( \cot^{-1}x = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \), তাই

\( \tan^{-1}x + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} \)

সুতরাং, যখন \( x > 0 \), \( \tan^{-1}x + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} \)। 🥳

ক্ষেত্র ২: যখন \( x < 0 \)

যদি \( x < 0 \) হয়, তবে \( \tan^{-1}x \) এবং \( \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \) উভয়েই তৃতীয় চতুর্ভাগে (Quadrant III) থাকবে। 😥

আমরা জানি, \( \tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} \)।

\( \tan^{-1}x + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{\pi}{2} \)

অতএব, \( \tan^{-1}x + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \) এর মান \( \frac{\pi}{2} \) অথবা \( -\frac{\pi}{2} \) হবে, যা \(x\) এর চিহ্নের উপর নির্ভরশীল। 👍