যদি A+B+C = π, এবং tan^-12 = A এবং tan^-13 = B হয় তবে C এবং এর মান কত?

আমাদের দেওয়া আছে, \(A + B + C = \pi\)।

আরও দেওয়া আছে, \(A = \tan^{-1}2\) এবং \(B = \tan^{-1}3\)।

সুতরাং, \(C = \pi - (A + B)\).

প্রথমে \(A + B\) এর মান নির্ণয় করি:

\(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\)

যেহেতু \(A = \tan^{-1}2\), তাই \(\tan A = 2\). এবং \(B = \tan^{-1}3\) হওয়ায়, \(\tan B = 3\).

সুতরাং, \(\tan(A + B) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1\).

এখন, \(A + B = \tan^{-1}(-1)\).

আমরা জানি, \(\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}\) অথবা \(\frac{3\pi}{4}\) হতে পারে।

যেহেতু \(A = \tan^{-1}2\) এবং \(B = \tan^{-1}3\), উভয়ই প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই \(A\) এবং \(B\) উভয়ই ধনাত্মক হবে। সুতরাং, \(A + B\) এর মান \(\frac{3\pi}{4}\) হবে, কারণ \(A+B\) অবশ্যই ধনাত্মক হবে।

অতএব, \(A + B = \frac{3\pi}{4}\).

এখন, \(C = \pi - (A + B) = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\).

সুতরাং, \(C = \frac{\pi}{4}\). 🎉