4–4√-1 এর বর্গমূল কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রথমে, প্রশ্নটি হলো: \(\sqrt{4 - 4\sqrt{-1}}\)।

আমরা জানি যে, \(\sqrt{-1} = i\)। সুতরাং, সমীকরণটি হবে:

\[ \sqrt{4 - 4i} \]

এখন, আসুন এই অংশটিকে রূপান্তর করি: \(4 - 4i\)।

একটি সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করার জন্য, আমরা ধরব যে:

\[ \sqrt{a + bi} = x + yi \]

তাহলে,

\[ (x + yi)^2 = a + bi \]

অর্থাৎ,

\[ x^2 - y^2 + 2xyi = a + bi \]

অতএব, সমানুপাতিক উপাদান অনুযায়ী,

\[ x^2 - y^2 = a \quad \text{(1)} \] \[ 2xy = b \quad \text{(2)} \]

আমাদের ক্ষেত্রে, \(a=4\) এবং \(b=-4\)। তাই,

\[ x^2 - y^2 = 4 \quad \text{(1)} \] \[ 2xy = -4 \quad \text{(2)} \]

সমীকরণ (2) থেকে,

\[ xy = -2 \]

এখন, সমীকরণ (1) অনুযায়ী:

\[ x^2 - y^2 = 4 \]

এখন, \(y\) এর জন্য, \(y = -\frac{2}{x}\)। সেটি সমীকরণে রাখলে:

\[ x^2 - \left(-\frac{2}{x}\right)^2 = 4 \]

অর্থাৎ,

\[ x^2 - \frac{4}{x^2} = 4 \]

দুটি দিকটি গুণে, \(x^2\) দিয়ে:

\[ x^4 - 4 = 4x^2 \]

এখন, সবাইকে এক পাশে নিয়ে আসি:

\[ x^4 - 4x^2 - 4 = 0 \]

এটি একটি কিউব সমান্তরাল (quadratic in \(x^2\)):

\[ t = x^2 \] \[ t^2 - 4t - 4 = 0 \]

এখন, এই সমীকরণের সমাধান করি:

\[ t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2} \] \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} \] \[ t = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2} \]

অর্থাৎ,

\[ x^2 = 2 + 2\sqrt{2} \quad \text{অথবা} \quad x^2 = 2 - 2\sqrt{2} \]

যেহেতু, \(x^2\) অবশ্যই ধনাত্মক, আমরা দুইটি সম্ভাব্য মান বিবেচনা করব।

প্রথমটি, \(x^2 = 2 + 2\sqrt{2}\)। এর জন্য, \(x = \pm \sqrt{2 + 2\sqrt{2}}\)।

দ্বিতীয়টি, \(x^2 = 2 - 2\sqrt{2}\)। এর জন্য, \(x = \pm \sqrt{2 - 2\sqrt{2}}\)।

এখন, \(y\) এর মান পাওয়ার জন্য, আমরা সমীকরণ (2) ব্যবহার করব:

\[ xy = -2 \]

প্রথম, ধরা যাক, \(x = \sqrt{2 + 2\sqrt{2}}\)। তাহলে,

\[ y = -\frac{2}{x} = -\frac{2}{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}} \]

অথবা, \(\pm\) চিহ্ন সহ, কারণ \(x\) হলো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক।

তাই, মূল সংখ্যা হলো:

\[ z = x + yi \]

অর্থাৎ, বর্গমূল:

\[ \sqrt{4 - 4i} = \pm \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} + \frac{-2}{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}} i \right) \]

অথবা, একই রূপে লিখলে:

\[ \boxed{ \pm \left( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}} i \right) } \]

এছাড়াও, অন্য সমাধান হবে \(x = \pm \sqrt{2 - 2\sqrt{2}}\), এর জন্য একই পদ্ধতিতে। তবে, সাধারণভাবে, এই রূপে বর্গমূলের দুটি বাস্তব অংশ ও কাল্পনিক অংশের মান প্রকাশ করা হয়।