sin cot^-1 tancos^-1 (3/4)  = ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\sin \cot^{-1} \left( \tan^{-1} \frac{3}{4} \right) = ?\) উত্তর: প্রথমে, ধরা যাক \(\theta = \cot^{-1} \left( \tan^{-1} \frac{3}{4} \right)\)। তাহলে, \[ \cot \theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} \] অর্থাৎ, \[ \cot \theta = \phi \quad \text{যেখানে} \quad \phi = \tan^{-1} \frac{3}{4} \] এখন, \(\phi = \tan^{-1} \frac{3}{4}\) মানে, \[ \tan \phi = \frac{3}{4} \] এখন, \(\cot \theta = \phi\) হলে, \[ \theta = \cot^{-1} \phi \] তাহলে, \[ \cot \theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} \] এখন, মূল প্রশ্নের জন্য, \[ \sin \cot^{-1} \left( \tan^{-1} \frac{3}{4} \right) = \sin \theta \] তাহলে, \(\theta = \cot^{-1} \phi\) যেখানে \(\phi = \tan^{-1} \frac{3}{4}\)। আমাদের লক্ষ্য হলো \(\sin \theta\) খুঁজে বের করা। \[ \cot \theta = \phi \] অর্থাৎ, \[ \cot \theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} \] এখানে, \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)। তাই, \[ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \] এবং, \(\tan \phi = \frac{3}{4}\), অর্থাৎ, \[ \text{তাই,} \quad \tan \phi = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{3}{4} \] এখন, একটি রেক্ট্যাঙ্গুলার ট্রাইঅ্যাঙ্গুলার ট্রিপল (3, 4, 5) ব্যবহার করে, আমরা জানি: \[ \text{hypotenuse} = 5 \] \[ \text{অপোজিট} = 3 \] \[ \text{অ্যাজাইড} = 4 \] তাহলে, \[ \sin \phi = \frac{\text{অপোজিট}}{\text{হাইপোটেনুস}} = \frac{3}{5} \] এখন, \(\theta = \cot^{-1} \phi\), অর্থাৎ, \(\cot \theta = \phi\) এবং \(\phi = \tan^{-1} \frac{3}{4}\) এর জন্য, \(\cot \theta\) এর মান এই রূপে প্রকাশ করা যায়: \[ \cot \theta = \frac{1}{\tan \phi} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \] অর্থাৎ, \[ \cot \theta = \frac{4}{3} \] এখানে, \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\), সুতরাং, \[ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{4}{3} \] অর্থাৎ, \[ \cos \theta = \frac{4}{3} \sin \theta \] চলুন, \(\sin \theta = x\) ধরি, তাহলে, \[ \cos \theta = \frac{4}{3} x \] এবং, ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতির মাধ্যমে, \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] অর্থাৎ, \[ x^2 + \left( \frac{4}{3} x \right)^2 = 1 \] \[ x^2 + \frac{16}{9} x^2 = 1 \] \[ x^2 \left( 1 + \frac{16}{9} \right) = 1 \] \[ x^2 \left( \frac{9}{9} + \frac{16}{9} \right) = 1 \] \[ x^2 \cdot \frac{25}{9} = 1 \] \[ x^2 = \frac{9}{25} \] \[ x = \pm \frac{3}{5} \] যেহেতু, \(\theta = \cot^{-1} \phi\) এবং \(\cot^{-1}\) এর মান সাধারণত \([0, \pi]\) এর মধ্যে হয়, তাই \(\sin \theta\) ধনাত্মক হবে। অতএব, \[ \sin \theta = \frac{3}{5} \] অতএব, \[ \boxed{\sin \cot^{-1} \left( \tan^{-1} \frac{3}{4} \right) = \frac{3}{5}} \]