b এর মান কত হলে \( (x-1)^2 a^2 + (y-2)^2 b^2 = 1 \) উপবৃত্তটি x- অক্ষ স্পর্শ করবে?

উপবৃত্তের সমীকরণটি হলো: \( (x-1)^2 a^2 + (y-2)^2 b^2 = 1 \)।

যেহেতু উপবৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই y = 0 বসালে x এর একটি মাত্র মান পাওয়া যাবে।

y = 0 বসালে পাই:

\( (x-1)^2 a^2 + (0-2)^2 b^2 = 1 \)

\( (x-1)^2 a^2 + 4b^2 = 1 \)

\( (x-1)^2 a^2 = 1 - 4b^2 \)

\( (x-1)^2 = \frac{1 - 4b^2}{a^2} \)

\( x-1 = \pm \sqrt{\frac{1 - 4b^2}{a^2}} \)

\( x = 1 \pm \frac{\sqrt{1 - 4b^2}}{a} \)

x-অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তানুসারে, x এর একটি মাত্র মান থাকবে। এর মানে হলো, \( \sqrt{1 - 4b^2} = 0 \) হতে হবে। 😲

অতএব, \( 1 - 4b^2 = 0 \)

\( 4b^2 = 1 \)

\( b^2 = \frac{1}{4} \)

\( b = \pm \frac{1}{2} \)

যেহেতু \(b\) এর মান ধনাত্মক হতে হবে, তাই \( b = \frac{1}{2} = 0.5 \) 😎।

সুতরাং, \(b\) এর মান 0.5 হলে উপবৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করবে। 🎉