\( x^2-8x+2y+7=0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

প্রদত্ত সমীকরণঃ \( x^2 - 8x + 2y + 7 = 0 \)

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে সমীকরণটি অর্গোনাল সমীকরণে রূপান্তর করি।

সমীকরণঃ

\( x^2 - 8x + 2y + 7 = 0 \)

ধাপ 1: x এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গ সম্পন্ন করি।

প্রথম দুইটি টার্মের জন্য:

\( x^2 - 8x \)

এটি সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করতে, 4 যোগ ও বিয়োগ করি:

\( x^2 - 8x + 16 - 16 \)

অর্থাৎ সমীকরণটি হয়ে যায়:

\( (x - 4)^2 - 16 + 2y + 7 = 0 \)

ধাপ 2: সমীকরণটি সোজা করি:

\( (x - 4)^2 + 2y - 9 = 0 \)

ধাপ 3: y এর জন্য সমীকরণ লিখি:

\( 2y = 9 - (x - 4)^2 \)

অতএব,

\( y = \frac{9 - (x - 4)^2}{2} \)

ধাপ 4: পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয়:

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু তখনই হয় যখন মূল ফাংশনের \( (x - 4)^2 \) এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হয়। যেহেতু এটি একটি বর্গের এক্সপ্রেশন, এর মান সর্বনিম্ন হয় যখন \( (x - 4)^2 = 0 \), অর্থাৎ, যখন \( x = 4 \)। অতএব,

\( y = \frac{9 - 0}{2} = \frac{9}{2} \)

### উপসংহার: পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক হলো \(\boxed{\left( 4, \frac{9}{2} \right)} \)।