(d^n)/(dx^n)*(x^n-1) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\frac{d^n}{dx^n} (x^{n-1})\) এর মান কত? উত্তর: 0 সমাধান: ধরা যাক, \(f(x) = x^{n-1}\). প্রথম ডেরিভেটিভ: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} x^{n-1} = (n-1) x^{n-2} \] দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ: \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left[(n-1) x^{n-2}\right] = (n-1)(n-2) x^{n-3} \] এভাবে, n-1 তম ডেরিভেটিভ: \[ f^{(n-1)}(x) = (n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 \cdot x^{(n-1)-(n-1)} = (n-1)! \cdot x^{0} = (n-1)! \] অর্থাৎ, n-1 তম ডেরিভেটিভটি একটি ধ্রুবক মান \((n-1)!\). তবে, n তম ডেরিভেটিভ: \[ f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx} \left[(n-1)! \right] = 0 \] কারণ, একটি ধ্রুবক মানের ডেরিভেটিভ 0। অতএব, \[ \frac{d^n}{dx^n} (x^{n-1}) = 0 \] সুতরাং, উত্তর: \[ \boxed{0} \]