4 একক দূরত্বে P ও Q বিন্দুতে ক্রিয়ারত 3 ও 6 একক সমান্তরাল বলদ্বয়-

1. সদৃশ হলে লব্ধি 9 একক
2. অসদৃশ হলে লব্ধি 3 একক
3. অসদৃশ এবং লব্ধি R বিন্দুগামী হলে QR = 4

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্নের বিবরণ অনুযায়ী, দুটি বলদ্বয় P ও Q একক দূরত্বে অবস্থিত এবং তাদের ক্রিয়া রাশি 3 ও 6 একক। এই বলদ্বয় সমান্তরাল। নিচে বিস্তারিত বিশ্লেষণ ও সমাধান দেওয়া হলো: প্রথমে বোঝা যাক: - বলদ্বয় P ও Q সমান্তরাল, অর্থাৎ তাদের কেন্দ্ররেখা একরকম রেখায় অবস্থিত। - P এর ক্রিয়া রাশি \( P = 3 \) - Q এর ক্রিয়া রাশি \( Q = 6 \) - দূরত্ব \( d = 1 \) প্রশ্নের জন্য তিনটি ধারা দেওয়া হয়েছে: i) যদি বলদ্বয় সদৃশ হয়, তাহলে লব্ধি 9 একক। ii) যদি অসদৃশ হয়, তাহলে লব্ধি 3 একক। iii) যদি অসদৃশ হয় এবং লব্ধি R বিন্দুতে ঘটে, তাহলে QR = 4। আমরা এই তথ্য নিয়ে বিশ্লেষণ করব। ### প্রথমে বলদ্বয় P ও Q এর অবস্থান নির্ণয়: ধরা যাক, P ও Q এর মধ্যবর্তি রেখা একে অপরের সমান্তরাল। P ও Q এর অবস্থান: - \( P \) বিন্দু \((0, 0)\) ধরা যাক। - \( Q \) বিন্দু \((1, 0)\) ধরা যাক (প্রথমে একক দূরত্বে অবস্থান)। যেহেতু বলদ্বয় সমান্তরাল, তাদের ক্রিয়া রাশি একই রেখায় বা সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত। ### 1. সদৃশ বলদ্বয় থাকলে (i): বলদ্বয় সদৃশ হলে, তাদের কেন্দ্ররেখা ও আকার একই হবে। এর ফলে, তাদের ক্রিয়া রাশি যোগফল বা গুণফল নির্ণয় করা যায়। সদৃশ বলদ্বয়ের ক্ষেত্রে, লব্ধি (resultant force) বা লব্ধি বলের মান: \[ F_{total} = P + Q = 3 + 6 = 9 \] তাই, **প্রথম ধারা সত্য**। ### 2. অসদৃশ বলদ্বয় থাকলে (ii): অসদৃশ বলদ্বয় হলে, তাদের ক্রিয়া রাশি যোগ বা বিয়োগফল হতে পারে। এখানে লব্ধি: - যদি বলদ্বয় বিপরীত দিক থেকে আসছে, তাহলে লব্ধি হবে: \[ |Q - P| = |6 - 3| = 3 \] - এই ক্ষেত্রে, লব্ধি 3 একক হবে। অর্থাৎ, **প্রমাণ হয় দ্বিতীয় ধারা সত্য**। ### 3. অসদৃশ বলদ্বয় এবং লব্ধি R বিন্দুতে ঘটে (iii): এখানে বলা হয়েছে, বলদ্বয় অসদৃশ ও লব্ধি R বিন্দুতে ঘটে, এবং QR = 4। এটি বোঝায়: - R বিন্দুতে লব্ধি হয়। - বলদ্বয় অসদৃশ, অর্থাৎ তাদের ক্রিয়া রাশি বিয়োগফল বা পার্শ্ববর্তী ফলাফল। বলদ্বয় Q এর ক্রিয়া রাশি \( Q = 6 \) এবং R বিন্দুতে লব্ধি QR = 4। এখন, Q থেকে R পর্যন্ত দূরত্ব: \[ QR = 4 \] এবং Q এর অবস্থান \((1, 0)\) ধরে, R এর অবস্থান নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, বলদ্বয় Q এর ক্রিয়া রাশি 6, অর্থাৎ: - বলদ্বয় Q ???র ক্রিয়া রাশি থেকে R এর দূরত্বের জন্য, বলদ্বয় Q এর ক্রিয়া রাশি ও R এর অবস্থানের উপর নির্ভর করে। সাধারণত, বলদ্বয় বিন্দুতে লব্ধি যেহেতু, এটি Q এর সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত। অতএব, R বিন্দু Q থেকে 4 একক দূরে, অর্থাৎ R এর অবস্থান: \[ (x_R, y_R) \] প্রথমে Q এর অবস্থান \((1, 0)\), এবং R এর অবস্থান \((x_R, y_R)\) হয়। শর্ত: \[ |x_R - 1| + |y_R - 0| = 4 \] তবে, সাধারণ ক্ষেত্রে, যদি বলদ্বয় অসদৃশ হয়, তাহলে সেটি বোঝায় বলদ্বয় বিভিন্ন দিকে থাকবে। এখন, Q এর ক্রিয়া রাশি 6, অর্থাৎ R এর অবস্থান Q থেকে 4 দূরে থাকলে, R এর অবস্থান: \[ x_R = 1 + 4 = 5 \quad \text{(অথবা)} \quad x_R = 1 - 4 = -3 \] এবং y সংকেতের জন্য, যেহেতু বলদ্বয় সমান্তরাল, y এর মান 0 বা অন্য কিছু হতে পারে। সাধারণত, R বিন্দু Q থেকে 4 দূরে থাকলে, যোগফল বা পার্থক্য দূরত্ব 4 হয়। সুতরাং, R এর অবস্থান: \[ \text{Option 1: } (5, 0) \] অর্থাৎ, QR = 4, যেখানে Q = (1, 0), R = (5, 0)। এখানে, QR = \( |5 - 1| = 4 \) একক, যা দেওয়া হয়েছে। ### **উপসংহার:** - দ্বিতীয় ধারা (অসদৃশ হলে লব্ধি 3) সত্য। - তৃতীয় ধারা (QR = 4) সত্য। অতএব, সঠিক উত্তর হলো: **"ii ও iii"** --- ### সম্পূর্ণ সমাধান HTML কোডে: ```html

সমাধান

প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে যে:

• দুটি বলদ্বয় P ও Q একক দূরত্বে অবস্থিত।
• P এর ক্রিয়া রাশি = 3, Q এর ক্রিয়া রাশি = 6।
• বলদ্বয় সমান্তরাল।

ধারাগুলোর বিশ্লেষণ:

i) সদৃশ বলদ্বয় হলে লব্ধি 9 একক

সদৃশ বলদ্বয় হলে, তাদের ক্রিয়া রাশির যোগফল বা গুণফল সর্বদা একই থাকে। এখানে,
লব্ধি = P + Q = 3 + 6 = 9 একক।
অতএব, প্রথম ধারা সত্য।

ii) অসদৃশ বলদ্বয় হলে লব্ধি 3 একক

অসদৃশ বলদ্বয় হলে, তাদের ক্রিয়া রাশির পার্থক্য বা যোগফল লব্ধির মান নির্ধারণ করে। এখানে,
লব্ধি = |Q - P| = |6 - 3| = 3 একক।
অতএব, দ্বিতীয় ধারা সত্য।

iii) অসদৃশ বলদ্বয় ও লব্ধি R বিন্দুতে হলে, QR = 4

ধরা যাক, Q এর অবস্থান (1, 0)। R বিন্দু Q থেকে 4 একক দূরে, অর্থাৎ R এর অবস্থান হতে পারে (5, 0) বা (-3, 0)।
অর্থাৎ, QR = 4।
এবং বলদ্বয় অসদৃশ হওয়ায়, R পজিশন নির্ণয় করলেই দেখা যায়, এই শর্ত পূরণ হয়।

সারসংক্ষেপ:

• ধারা ii ও iii সত্য।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো: "ii ও iii".

```