(1-x)^-3 এর বিস??তৃতিতে x³ এর সহগ কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \((1 - x)^{-3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এর সহগ কোনটি? সমাধান: আমরা জানি, \((1 - x)^{n}\) এর বিয়োগমূলক বিস্তৃতি (binomial expansion) হলো: \[ (1 - x)^{n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} (-x)^k \] এখানে, \(n = -3\), তাই: \[ (1 - x)^{-3} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{-3}{k} (-x)^k \] \[ = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{-3}{k} (-1)^k x^k \] ব্যবহার করি, \(\binom{n}{k}\) এর সূত্র: \[ \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2) \dots (n - k + 1)}{k!} \] অথবা, \[ \binom{-3}{k} = \frac{(-3)(-3 - 1)(-3 - 2) \dots (-3 - (k - 1))}{k!} \] যেহেতু, \[ \binom{-3}{k} = (-1)^k \binom{k + 2}{k} \] এখানে, \(\binom{k + 2}{k} = \binom{k + 2}{2}\) অর্থাৎ, \[ \binom{-3}{k} = (-1)^k \binom{k + 2}{2} \] সুতরাং, বিস্তারটি হবে: \[ (1 - x)^{-3} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \binom{k + 2}{2} (-1)^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k + 2}{2} x^k \] এখানে, \((-1)^k \times (-1)^k = (-1)^{2k} = 1\), তাই সহজ হয়েছে। অতএব, \(x^3\) এর সহগ হলো: \[ \binom{3 + 2}{2} = \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] উত্তর: 10