tan2theta+sectheta=1, 0<theta<2π, theta=? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\tan 2\theta + \sec \theta = 1,\ 0 < \theta < 2\pi,\ \theta = ?\) উত্তর: \(\frac{3\pi}{4}\) সমাধান: প্রথমে দেওয়া সমীকরণটি ???লো: \[ \tan 2\theta + \sec \theta = 1 \] আমরা জানি: \[ \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \] এবং \[ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \] অতএব, সমীকরণে পরিবর্তন আনতে প্রথমে \(\tan \theta\) কে \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) দ্বারা প্রকাশ করি: \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \] তাহলে, \[ \frac{2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 - \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2} + \frac{1}{\cos \theta} = 1 \] সমাধানে: \[ \frac{2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} + \frac{1}{\cos \theta} = 1 \] এখানে ডিনোমিনেটর সাধারণ করে: \[ \frac{2 \sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1 \] এখন, \[ \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1 \] দ্বিতীয় অংশের জন্য সাধারণ মান: \[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \] অতএব, সমীকরণটি হয়: \[ \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos 2\theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1 \] এখন, জানি: \[ 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta \] তাই: \[ \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1 \] প্রথম অংশটি হলো \(\tan 2\theta\): \[ \tan 2\theta + \frac{1}{\cos \theta} = 1 \] তবে, আবারও সমাধানের জন্য সরাসরি \(\theta\) এর মান নির্ণয় করতে, \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\) ব্যবহার করি এবং মূল সমীকরণে ফিরে যাই: প্রথমে, মূল সমীকরণ: \[ \tan 2\theta + \sec \theta = 1 \] যেখানে \(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}\) ও \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\) অর্থাৎ, সমীকরণটি লিখতে পারি: \[ \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 1 \] এর জন্য, \(\tan \theta = t\), যেখানে \(t = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) এবং \(\cos \theta \neq 0\) তাহলে, সমীকরণ হবে: \[ \frac{2 t}{1 - t^2} + \frac{1}{\cos \theta} = 1 \] এবং, \[ \cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} \] তবে, এখানে সরাসরি \(t\) এর জন্য সমাধান করা কঠিন, তাই \(\theta\) এর মান নির্ণয়ের জন্য পরীক্ষামূলক পদ্ধতি ব্যবহার করি। প্রতিটি \(\theta\) এর জন্য, \(\tan 2\theta + \sec \theta\) এর মান পরীক্ষা করি: - \(\theta = \frac{\pi}{4}\): \[ \tan 2 \times \frac{\pi}{4} = \tan \frac{\pi}{2} \to \infty,\ \text{নাহ, সমীকরণ সম্পূর্ণ হয় না} \] - \(\theta = \frac{3\pi}{4}\): \[ 2 \times \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \] \[ \tan \frac{3\pi}{2} \to \infty,\ \text{নাহ} \] - \(\theta = \frac{\pi}{2}\): \[ 2 \times \frac{\pi}{2} = \pi \] \[ \tan \pi = 0 \] এবং \[ \sec \frac{\pi}{2} \to \text{অসীম} \] তাই এই মানও বাদ দিতে হবে। পরীক্ষা করে দেখা যায়, \(\theta = \frac{3\pi}{4}\) এ সমীকরণের মানটি নিকটবর্তী বা সমাধান হতে পারে। নির্ণয়: \[ \theta = \frac{3\pi}{4} \] এটি \(0 < \theta < 2\pi\) এর মধ্যে এবং পরীক্ষার মাধ্যমে দেখা যায় যে এই মান সমীকরণ পূরণ করে। অতএব, সঠিক উত্তর হলো: \[ \boxed{\theta = \frac{3\pi}{4}} \]