ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং 3P, 7P ও 5P মানের তিনটি বলের দিক যথাক্রমে AB, BC ও CA এর দিকে। বল তিনটির লব্ধির মান কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, ধরি ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যেখানে AB = BC = CA। প্রদত্ত বলের মান: - 3P বলটি AB দিকের, - 7P বলটি BC দিকের, - 5P বলটি CA দিকের। আমাদের লক্ষ্য হলো এই তিনটি বলের লব্ধির মান নির্ণয় করা। ধরি, ত্রিভুজের কৌণিক কোঅর্ডিনেট ব্যবস্থা বা ভেক্টর পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করি। ### ধাপ 1: ভেক্টর নির্ণয় ধরি, কক্ষের মধ্যে পয়েন্টগুলো: - \(A = (0,0)\), - \(B = (a,0)\), - \(C = (b_x, b_y)\)। তাহলে, \[ \vec{AB} = (a,0), \] \[ \vec{BC} = (b_x - a, b_y), \] \[ \vec{CA} = (-b_x, -b_y). \] ### ধাপ 2: বলের মান অনুযায়ী ভেক্টর বলগুলো দিক অনুযায়ী শক্তি ও দিক নির্ণয় করি। বলের মান ও দিকের মধ্যে সম্পর্ক হলো: \[ \text{বল} = \text{মোট শক্তি} \times \text{দিকের ইউনিট ভেক্টর}. \] অর্থাৎ, \[ \text{বল} = \text{মান} \times \frac{\text{প্রেরিত ভেক্টর}}{\|\text{প্রেরিত ভেক্টর}\|}. \] ### ধাপ 3: বলের ভেক্টর - বল 3P AB দিকের, অর্থাৎ: \[ \vec{F}_{AB} = 3P \times \frac{\vec{AB}}{\|\vec{AB}\|} = 3P \times \frac{(a,0)}{a} = (3P, 0). \] - বল 7P BC দিকের: \[ \vec{F}_{BC} = 7P \times \frac{\vec{BC}}{\|\vec{BC}\|} = 7P \times \frac{(b_x - a, b_y)}{\sqrt{(b_x - a)^2 + b_y^2}}. \] - বল 5P CA দিকের: \[ \vec{F}_{CA} = 5P \times \frac{\vec{CA}}{\|\vec{CA}\|} = 5P \times \frac{(-b_x, -b_y)}{\sqrt{b_x^2 + b_y^2}}. \] ### ধাপ 4: সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোঅর্ডিনেট সমবাহু ত্রিভুজের জন্য, AB = BC = CA অর্থাৎ, \(a = \text{অপেক্ষাকৃত} \), এবং C পয়েন্টের অবস্থান নির্ণয় করি যাতে ত্রিভুজের সমবাহু গঠন হয়। উপযুক্ত অবস্থানে ধরি: \[ A = (0,0), \quad B = (a, 0), \] \[ C = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right), \] কারণ, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা গড়ে \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\). অতএব, \[ b_x = \frac{a}{2}, \quad b_y = \frac{\sqrt{3}}{2}a. \] ### ধাপ 5: বলের ভেক্টর নির্ণয় - \(\vec{AB} = (a, 0)\), - \(\vec{BC} = \left(\frac{a}{2} - a, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)\), - \(\vec{CA} = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}a \right)\). আকার: \[ \|\vec{AB}\| = a, \] \[ \|\vec{BC}\| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a, \] \[ \|\vec{CA}\| = a. \] ### ধাপ 6: বলের ভেক্টর নির্ণয় - AB দিকের বল: \[ \vec{F}_{AB} = 3P \times \frac{(a, 0)}{a} = (3P, 0). \] - BC দিকের বল: \[ \vec{F}_{BC} = 7P \times \frac{\left(-\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}{a} = 7P \times \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(-\frac{7P}{2}, \frac{7\sqrt{3}P}{2}\right). \] - CA দিকের বল: \[ \vec{F}_{CA} = 5P \times \frac{\left(-\frac{a}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}{a} = 5P \times \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(-\frac{5P}{2}, -\frac{5\sqrt{3}P}{2}\right). \] ### ধাপ 7: লব্ধি (Resultant) ভেক্টর অতএব, মোট লব্ধি ভেক্টর হলো: \[ \vec{F}_{\text{total}} = \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BC} + \vec{F}_{CA}. \] সুতরাং, \[ \vec{F}_{\text{total}} = (3P, 0) + \left(-\frac{7P}{2}, \frac{7\sqrt{3}P}{2}\right) + \left(-\frac{5P}{2}, -\frac{5\sqrt{3}P}{2}\right). \] একত্র করি, **X-কম্পোনেন্ট:** \[ 3P - \frac{7P}{2} - \frac{5P}{2} = 3P - \left(\frac{7P + 5P}{2}\right) = 3P - \frac{12P}{2} = 3P - 6P = -3P. \] **Y-কম্পোনেন্ট:** \[ 0 + \frac{7\sqrt{3}P}{2} - \frac{5\sqrt{3}P}{2} = \frac{(7\sqrt{3}P - 5\sqrt{3}P)}{2} = \frac{2\sqrt{3}P}{2} = \sqrt{3}P. \] ### ধাপ 8: লব্ধির মান নির্ণয় লব্ধি ভেক্টর: \[ \vec{F}_{\text{total}} = (-3P, \sqrt{3}P). \] এর মান: \[ |\vec{F}_{\text{total}}| = \sqrt{(-3P)^2 + (\sqrt{3}P)^2} = \sqrt{9P^2 + 3P^2} = \sqrt{12P^2} = 2\sqrt{3}P. \] ### **উত্তর:** \[ \boxed{\text{লব্ধির মান} = 2\sqrt{3}P}. \]