\( \sqrt[4]{-169} \)

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\sqrt[4]{-169}\)

সমাধান:

আমরা দেখতে চাই \(\sqrt[4]{-169}\) অর্থাৎ, এমন সংখ্যাগুলি যেগুলি চতুর্থ ঘাতে \(-169\) দেয়।

প্রথমে, \(-169\) কে লিখি:

\[ -169 = 169 \times (-1) \]

এখন, 169 এর চতুর্থ মূল হতে পারে, এবং \(-1\) এর চতুর্থ মূল হলো \(1\) বা \(-1\) কারণ:

\[ (-1)^4 = 1 \]

সুতরাং, \(\sqrt[4]{-169}\) এর জন্য, আমরা প্রথমে 169 এর চতুর্থ মূল বিবেচনা করবো।

ধাপ ১: 169 এর চতুর্থ মূল

169 এর স্কয়ার রুট হলো:

\[ \sqrt{169} = 13 \]

অতএব, 169 এর চতুর্থ মূল হলো:

\[ \sqrt{13} \]

ধাপ ২: মূল সংকেত বিবেচনা

এখন, \(-169\) এর চতুর্থ মূল বের করতে, আমাদের মূলের পাত্রে মূল সংকেত যোগ করতে হবে।

চতুর্থ মূলের সাধারণ ফর্ম হলো:

\[ z = r \left(\cos \theta + i \sin \theta \right) \] যেখানে, \(r = \sqrt[4]{| -169 |} = \sqrt[4]{169} = \sqrt{13}\), এবং \(\theta\) হলো মূলের অংকন (argument)।

\( -169 \) এর মূলের অংকন \(\theta\) হলো \(\pi\) (180 ডিগ্রি), কারণ এটি বাস্তব সংখ্যার য়ে ঋণাত্মক।

ধাপ ৩: মূলের অংকন

অর্থাৎ, \(\theta = \pi\).

ধাপ ৪: চতুর্থ মূলের সূত্র

প্রতিটি চতুর্থ মূলের জন্য:

\[ z_k = r^{1/4} \left(\cos \frac{\theta + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{4}\right), \quad k=0,1,2,3 \]

এখানে, \(r^{1/4} = \sqrt{13}\), এবং \(\theta = \pi\)।

ধাপ ৫: মূল বের করা

অর্থাৎ,

\[ z_k = \sqrt{13} \left(\cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4}\right), \quad k=0,1,2,3 \]

প্রতিটি \(k\) এর জন্য:

• k=0:
\[ z_0 = \sqrt{13} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{13} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{13}\sqrt{2}}{2} (1 + i) \]
এখানে, \(\sqrt{13}\sqrt{2} = \sqrt{26}\), তাই: \[ z_0 = \frac{\sqrt{26}}{2} (1 + i) \]
• k=1:
\[ z_1 = \sqrt{13} \left(\cos \frac{\pi + 2\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2\pi}{4}\right) = \sqrt{13} \left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right) \] \[ = \sqrt{13} \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{26}}{2} (-1 + i) \]
• k=2:
\[ z_2 = \sqrt{13} \left(\cos \frac{\pi + 4\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 4\pi}{4}\right) = \sqrt{13} \left(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}\right) \] \[ = \sqrt{13} \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{26}}{2} (-1 - i) \]
• k=3:
\[ z_3 = \sqrt{13} \left(\cos \frac{\pi + 6\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 6\pi}{4}\right) = \sqrt{13} \left(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}\right) \] \[ = \sqrt{13} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{26}}{2} (1 - i) \]

উপসংহার:

অতএব, \(\sqrt[4]{-169}\) এর চারটি মূল হলো:

\[ \boxed{ \pm \frac{\sqrt{26}}{2} (1 + i), \quad \pm \frac{\sqrt{26}}{2} (1 - i) } \]