কোনো কণার উপর 3ms-1, 4ms-1 এবং 5ms-1 বেগ তিনটি ক্রিয়া করায় কণাটি সাম্যাবস্থায় আছে । ক্ষুদ্রতম বেগ দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত ?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন অনুযায়ী, তিনটি বেগ \( \vec{v}_1 = 3\, \mathrm{m/s} \), \( \vec{v}_2 = 4\, \mathrm{m/s} \), এবং \( \vec{v}_3 = 5\, \mathrm{m/s} \) দ্বারা কণাটির উপর ক্রিয়া করা হয়েছে। কণাটি সাম্যাবস্থায় আছে, অর্থাৎ, কণাটির গতি পরিবর্তিত হচ্ছে না।

অর্থাৎ, সমীকরণ:

\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0

আরো লিখে,

\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = -\vec{v}_3

এখানে, \( |\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = |\vec{v}_3| = 5\, \mathrm{m/s} \)।

দুটি ভেক্টর \( \vec{v}_1 \) ও \( \vec{v}_2 \) এর মান জানা থাকায়, তাদের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) নির্ণয় করি।

ভেক্টর যোগের সূত্র অনুযায়ী:

|\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2 v_1 v_2 \cos \theta}

এখানে, \( v_1 = 3\, \mathrm{m/s} \), \( v_2 = 4\, \mathrm{m/s} \), এবং এটি জানি যে, যোগফল ভেক্টরের মান ৫।

অতএব,

5 = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + 2 \times 3 \times 4 \times \cos \theta}

বর্গমূল উভয় পাশে স্কোয়ার করি:

25 = 9 + 16 + 24 \cos \theta

সরলীকরণ করি:

25 = 25 + 24 \cos \theta 25 - 25 = 24 \cos \theta 0 = 24 \cos \theta \cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ

অতএব, ক্ষুদ্??তম বেগ দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \( \boxed{90^\circ} \)।