কোন হ্রদের তলদেশ থেকে পানির উপরিতলে আসা একটি বায়ু বুদবুদের ব্যাস 4গুণ হয়। হ্রদের পৃষ্ঠে বায়ু মণ্ডলের চাপ স্বাভাবিক বায়ুমন্ডলের চাপের সমান এবং হ্রদের পানির উষ্ণতা ধ্রুবক হলে হ্রদের গভিরতা কত?[পৃষ্ঠদেশে বায়ুর চাপ 101325Pa]
কোন হ্রদের তলদেশ থেকে পানির উপরিতলে আসা একটি বায়ু বুদবুদের ব্যাস 4গুণ হয়। হ্রদের পৃষ্ঠে বায়ু মণ্ডলের চাপ স্বাভাবিক বায়ুমন্ডলের চাপের সমান এবং হ্রদের পানির উষ্ণতা ধ্রুবক হলে হ্রদের গভিরতা কত?[পৃষ্ঠদেশে বায়ুর চাপ 101325Pa]
- 72.4m (Incorrect)
- 289.6m (Incorrect)
- 580m (Incorrect)
- 651.4m (Correct)
- 950m (Incorrect)
বয়েলের সূত্র (Boyle\'s Law)
যেহেতু হ্রদের পানির উষ্ণতা ধ্রুবক, তাই এখানে বয়েলের সূত্র প্রযোজ্য হবে। বয়েলের সূত্র অনুসারে, স্থির তাপমাত্রায় নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের চাপ তার আয়তনের সাথে ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, P₁V₁ = P₂V₂।
বুদবুদের আয়তন
বুদবুদ গোলাকার ধরে নিলে, এর আয়তন \\(V = \\frac{4}{3}πr^3\\) হবে, যেখানে r হলো বুদবুদের ব্যাসার্ধ। যেহেতু ব্যাস 4 গুণ হয়, ব্যাসার্ধও 4 গুণ হবে।
ধরি, তলদেশে বুদবুদের ব্যাসার্ধ \\(r_1\\) এবং উপরিভাগে \\(r_2\\)। তাহলে, \\(r_2 = 4r_1\\)।
তলদেশে বুদবুদের আয়তন \\(V_1 = \\frac{4}{3}πr_1^3\\)
উপরিভাগে বুদবুদের আয়তন \\(V_2 = \\frac{4}{3}πr_2^3 = \\frac{4}{3}π(4r_1)^3 = \\frac{4}{3}π(64r_1^3) = 64V_1\\)
চাপ
ধরি, উপরিভাগে চাপ \\(P_2\\) এবং তলদেশে চাপ \\(P_1\\)।
উপরিভাগে চাপ \\(P_2\\) হলো বায়ুমণ্ডলীয় চাপের সমান, \\(P_2 = 101325\\) Pa।
তলদেশে চাপ \\(P_1\\) হবে বায়ুমণ্ডলীয় চাপ + পানির চাপের সমান। পানির চাপ \\(P_{water} = ρgh\\), যেখানে \\(ρ\\) হলো পানির ঘনত্ব (প্রায় 1000 kg/m³), \\(g\\) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ (প্রায় 9.8 m/s²), এবং \\(h\\) হলো হ্রদের গভীরতা।
সুতরাং, \\(P_1 = P_2 + ρgh = 101325 + 1000 \\times 9.8 \\times h\\)
বয়েলের সূত্রের প্রয়োগ
বয়েলের সূত্র অনুযায়ী, \\(P_1V_1 = P_2V_2\\)
\\((101325 + 9800h)V_1 = 101325 \\times 64V_1\\)
উভয় পক্ষ থেকে \\(V_1\\) বাদ দিয়ে পাই,
\\(101325 + 9800h = 101325 \\times 64\\)
\\(9800h = 101325 \\times 64 - 101325\\)
\\(9800h = 101325 (64 - 1)\\)
\\(9800h = 101325 \\times 63\\)
\\(h = \\frac{101325 \\times 63}{9800}\\)
\\(h = \\frac{6383475}{9800}\\)
\\(h ≈ 651.375\\) m
বিকল্পগুলোর বিশ্লেষণ
এখন আমরা বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করে দেখব কোনটি সঠিক:
- 72.4m (Incorrect)
- 289.6m (Incorrect)
- 580m (Incorrect)
- 651.4m (Correct)
- 950m (Incorrect)
সিদ্ধান্ত
হ্রদের গভীরতা প্রায় 651.4 m।
টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন
বিষয়টি আরও সহজে বোঝার জন্য একটি টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো:
| পরামিতি | প্রতীক | মান |
|---|---|---|
| উপরে চাপ | \\(P_2\\) | 101325 Pa |
| উপরে আয়তন | \\(V_2\\) | \\(64V_1\\) |
| তলদেশে চাপ | \\(P_1\\) | \\(101325 + 9800h\\) Pa |
| তলদেশে আয়তন | \\(V_1\\) | \\(V_1\\) |
| পানির ঘনত্ব | \\(ρ\\) | 1000 kg/m³ |
| অভিকর্ষজ ত্বরণ | \\(g\\) | 9.8 m/s² |
| হ্রদের গভীরতা | \\(h\\) | 651.4 m |
সঠিক উত্তর: D. 651.4m