(1-x)^-2 এর বিস্তৃতিতে r তম পদের সহগ কত? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \((1 - x)^{-2}\) এর বিস্তৃতিতে \(r\) তম পদের সহগ কত? সমাধান: দেওয়া ফাংশন: \[ (1 - x)^{-2} \] আমরা জানি, \((1 - x)^{n}\) এর টেইলর/বিস্ট্রুটি সিরিজের সাধারণ সমন্বয় (binomial coefficient) হল: \[ (1 - x)^{n} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{n}{r} (-x)^r \] কিন্তু এখানে \(n = -2\), তাই: \[ (1 - x)^{-2} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{-2}{r} (-x)^r \] প্রথমে, \(\binom{-2}{r}\) এর মান নির্ণয় করি: \[ \binom{-2}{r} = \frac{(-2)(-2 - 1)(-2 - 2) \cdots (-2 - r + 1)}{r!} \] অথবা, সাধারণ সমন্বয় ফর্মুলা অনুযায়ী: \[ \binom{n}{r} = \frac{n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - r + 1)}{r!} \] এখানে \(n = -2\), সুতরাং: \[ \binom{-2}{r} = \frac{(-2)(-2 - 1)(-2 - 2) \cdots (-2 - r + 1)}{r!} \] এখন, এই সমন্বয়টি আরও সরলীকৃত রূপে লেখা যায়: \[ \binom{-2}{r} = (-1)^r \binom{r + 1}{r} \] কেননা, সাধারণত: \[ \binom{-n}{r} = (-1)^r \binom{n + r - 1}{r} \] অতএব, এখানে: \[ \binom{-2}{r} = (-1)^r \binom{r + 1 - 1}{r} = (-1)^r \binom{r + 1 - 1}{r} \] অথবা, \[ \binom{-2}{r} = (-1)^r \binom{r + 1}{r} \] সুতরাং, \[ (1 - x)^{-2} = \sum_{r=0}^{\infty} (-1)^r \binom{r + 1}{r} (-x)^r \] এখানে, \[ (-x)^r = (-1)^r x^r \] অতএব, \[ (1 - x)^{-2} = \sum_{r=0}^{\infty} (-1)^r \binom{r + 1}{r} (-1)^r x^r = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r + 1}{r} x^r \] এখানে, \((-1)^r \times (-1)^r = 1\), তাই সহগ: \[ \text{Coefficient of } x^r = \binom{r + 1}{r} \] এবং, \[ \binom{r + 1}{r} = \binom{r + 1}{1} = r + 1 \] অতএব, **\(r\) তম পদের সহগ = \(\boxed{r + 1}\)**।