(x²-2+1/x²)⁶  এর সম্প্রসারণে x বর্জিত পদটির মান কত? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\left(x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\right)^6\) এর সম্প্রসারণে \(x\) বর্জিত পদটির মান কত? সমাধান: প্রথমে, অভিব্যক্তিটি লিখি: \[ \left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 2\right)^6 \] এখানে, \(A = x^2\), \(B = \frac{1}{x^2}\), এবং \(C = -2\): \[ (A + B + C)^6 \] এখানে, আমরা এই ত্রিপদ সংমিশ্রণের জন্য ত্রিপদ বিন্যাসের বাইনারি ত্রিপদ সমন্বয় (trinomial expansion) ব্যবহার করব: \[ (A + B + C)^6 = \sum_{p+q+r=6} \frac{6!}{p!q!r!} A^p B^q C^r \] আমাদের লক্ষ্য হলো \(x\)-বর্জিত পদটি খুঁজে বের করা। \[ A^p = (x^2)^p = x^{2p} \] \[ B^q = \left(\frac{1}{x^2}\right)^q = x^{-2q} \] \[ C^r = (-2)^r \] সুতরাং, প্রতিটি পদে মূল \(x\)-শক্তি হবে: \[ x^{2p} \times x^{-2q} = x^{2p - 2q} \] অতএব, মোট শক্তি: \[ 2p - 2q \] \(x\)-বর্জিত পদ মানে এর শক্তি শূন্য, অর্থাৎ: \[ 2p - 2q = 0 \implies p = q \] এখন, \(p + q + r = 6\), এবং \(p = q\), তাহলে: \[ p + p + r = 6 \implies 2p + r = 6 \] এখন, আমরা সব মানের জন্য \(p\), \(q\), \(r\) নির্ণয় করব যেখানে \(p = q\) ও \(r \geq 0\): \[ r = 6 - 2p \] প্রতিটি মানের জন্য, যেখানে \(p \geq 0\), \(r \geq 0\): \[ 0 \leq p \leq 3 \] অর্থাৎ, সম্ভাব্য মা???গুলো হলো: \[ p = 0, 1, 2, 3 \] এখন, প্রতিটি ক্ষেত্রে পদটির মান নির্ণয় করি: --- ### যখন \(p = q = 0\): \[ r = 6 - 2(0) = 6 \] পদ: \[ \frac{6!}{0! \, 0! \, 6!} \times A^{0} \times B^{0} \times (-2)^6 = 1 \times 1 \times 1 \times 64 = 64 \] --- ### যখন \(p = q = 1\): \[ r = 6 - 2(1) = 4 \] পদ: \[ \frac{6!}{1! \, 1! \, 4!} \times A^{1} \times B^{1} \times (-2)^4 \] গণনা: \[ \frac{720}{1 \times 1 \times 24} = \frac{720}{24} = 30 \] \[ A^{1} = x^{2} \] \[ B^{1} = \frac{1}{x^{2}} \] \[ (-2)^4 = 16 \] মোট: \[ 30 \times x^{2} \times \frac{1}{x^{2}} \times 16 = 30 \times 1 \times 16 = 480 \] --- ### যখন \(p = q = 2\): \[ r = 6 - 2(2) = 2 \] পদ: \[ \frac{6!}{2! \, 2! \, 2!} \times A^{2} \times B^{2} \times (-2)^2 \] গণনা: \[ \frac{720}{2 \times 2 \times 2} = \frac{720}{8} = 90 \] \[ A^{2} = x^{4} \] \[ B^{2} = \frac{1}{x^{4}} \] \[ (-2)^2 = 4 \] মোট: \[ 90 \times x^{4} \times \frac{1}{x^{4}} \times 4 = 90 \times 1 \times 4 = 360 \] --- ### যখন \(p = q = 3\): \[ r = 6 - 2(3) = 0 \] পদ: \[ \frac{6!}{3! \, 3! \, 0!} \times A^{3} \times B^{3} \times (-2)^0 \] গণনা: \[ \frac{720}{6 \times 6 \times 1} = \frac{720}{36} = 20 \] \[ A^{3} = x^{6} \] \[ B^{3} = \frac{1}{x^{6}} \] \[ (-2)^0 = 1 \] মোট: \[ 20 \times x^{6} \times \frac{1}{x^{6}} \times 1 = 20 \] --- ### উপসংহার: বর্জিত (x মুক্ত) পদগুলো এর মান: \[ 64 + 480 + 360 + 20 = 924 \] **অতএব, উত্তর: \(\boxed{924}\)**