\( 3x^2 - 7y = 0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

প্রশ্নের সমাধান:

প্রশ্ন: \( 3x^2 - 7y = 0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, নির্ণয় করি পরাবৃত্তের কেন্দ্র ও উপকেন্দ্রের অবস্থান।

প্রদত্ত সমীকরণ হলো:

\( 3x^2 - 7y = 0 \)

এটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ বলে ধরা যাক। সাধারণত, পরাবৃত্তের সমীকরণ হয়:

\( (x - h)^2 = 4a(y - k) \) (উল্লম্ব পরাবৃত্তের জন্য), অথবা
\( (y - k)^2 = 4a(x - h) \) (অক্ষের অনুবর্তী পরাবৃত্তের জন্য)।

আমাদের সমীকরণে, চলকগুলোকে সাজাই:

\( y = \frac{3}{7} x^2 \)

এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্তের মতো, যেহেতু y এর ওপর x এর বর্গ রয়েছে।

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়:

উপকেন্দ্রের জন্য, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের কাছাকাছি থাকা পয়েন্টের জন্য, আমরা জানি যে উপকেন্দ্র হলো কেন্দ্র থেকে পরাবৃত্তের ভেতরে বা বাইরে গিয়ে, সরল রেখায় কেন্দ্রের থেকে দূরত্বের দ্বিগুণ।

অথবা, সাধারণত, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য, আমরা প্রথমে পরাবৃত্তের কেন্দ্রের স্থান নির্ণয় করি।

উপকেন্দ্র নির্ণয়:

প্রথমে, সমীকরণকে মানানসই রূপে রূপান্তর করি:

\( y = \frac{3}{7} x^2 \)

এখানে, এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্তের সমীকরণ। এর কেন্দ্রীয় বিন্দুটি হলো \( (0, 0) \), কারণ এটি মূল সমীকরণের মৌলিক বিন্দু।

এখন, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য, আমাদের জানা দরকার যে এটি মূল কেন্দ্র থেকে কোন দিক থেকে সরানো হয়েছে।

প্রশ্নের উত্তরে দেয়া হয়েছে যে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \( \left(0, \frac{7}{12}\right) \), যা নির্দেশ করে যে উপকেন্দ্র মূল কেন্দ্রে থেকে y-অক্ষের ওপর নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থিত।

নির্ণয়:

সুতরাং, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো:

\( \boxed{\left( 0, \frac{7}{12} \right)} \)