x² + 6x + 3y = 0 পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কোনটি?

প্রশ্ন:

x² + 6x + 3y = 0 পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কোনটি?

উত্তর:

শীর্ষবিন্দু (Vertex) নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে সমীকরণটিকে মানানসই রূপে রূপান্তর করি।

ধাপ 1: সমীকরণটি লিখি

x² + 6x + 3y = 0

ধাপ 2: y এর মান নির্ণয় করি

y এর মান পেতে সমীকরণের উভয় পাশে 3 দিয়ে ভাগ করি:

\( y = -\frac{1}{3} (x^2 + 6x) \)

ধাপ 3: x এর জন্য কৌণিক সম্পূরক সম্পন্ন করি

x² + 6x এর জন্য কৌণিক সম্পূরক করি:

\( x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x + 3)^2 - 9 \)

ধাপ 4: y এর সমীকরণে এই মান প্রতিস্থাপন করি

অতএব,

\( y = -\frac{1}{3} [(x + 3)^2 - 9] = -\frac{1}{3} (x + 3)^2 + 3 \)

ধাপ 5: এই রূপে দেখা যায় যে, এটি একটি পরাবৃত্তের আকার এবং এর শীর্ষবিন্দু হবে যখন \((x + 3)^2 = 0\), অর্থাৎ, \(x = -3\)।

ধাপ 6: শীর্ষবিন্দুর y-মান নির্ণয় করি:

যখন \(x = -3\), তখন:

\( y = -\frac{1}{3} (0) + 3 = 3 \)

অতএব, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু:

(-3, 3)