\( y^2 = 4x + 8y \) পরাবৃত্তটির শীর্ষ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক -

প্রশ্নের সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া পরাবৃত্তিটির সমীকরণ হলো:

\( y^2 = 4x + 8y \)

ধাপ ১: সমীকরণকে সাধারণ পরাবৃত্তির রূপে রূপান্তর করা

প্রথমে সমীকরণটি থেকে একই পাশে সবগুলো টার্ম নিয়ে আসি:

\( y^2 - 8y = 4x \)

ধাপ ২: বর্গ সম্পন্ন করে বর্গের রূপে রূপান্তর

দুটি পাশে সম্পূর্ণ বর্গ করার জন্য, \( y^2 - 8y \) এর জন্য বর্গ সম্পন্ন করি:

এখানে, \( y^2 - 8y \) এর জন্য বর্গ সম্পন্ন করার জন্য, যোগ করি এবং বাদ দিই \( ( \frac{8}{2} )^2 = 16 \):

\( y^2 - 8y + 16 - 16 = 4x \)

এখন, এটি লিখি:

\( (y - 4)^2 - 16 = 4x \)

\( (y - 4)^2 = 4x + 16 \)

ধাপ ৩: পরাবৃত্তির কেন্দ্র ও শীর্ষ বিন্দু নির্ণয়

সমীকরণটি এখন এই রূপে:

\( (y - 4)^2 = 4(x + 4) \)

এটি একটি পরাবৃত্তি, যার কেন্দ্রীয় বিন্দু হলো \( (-4, 4) \)।

ধাপ ৪: শীর্ষ বিন্দু নির্ণয়

একটি পরাবৃত্তির শীর্ষ বিন্দু তখনই হয়, যখন পরাবৃত্তির সাধারণ রূপে \( (y - k)^2 = 4p(x - h) \) এর জন্য \( x \)-অক্ষের মান নির্দিষ্ট থাকে।

এখানে, সমীকরণটি হলো:

\( (y - 4)^2 = 4(x + 4) \)

যেখানে, \( h = -4 \), \( k = 4 \), এবং \( 4p = 4 \Rightarrow p = 1 \).

শীর্ষ বিন্দু তখন হয়, যেখানে \( x = h + p = -4 + 1 = -3 \)। তবে, পরাবৃত্তির শীর্ষ বিন্দুটি কেন্দ্রীয় বিন্দুর সাথে সমান দূরত্বে থাকে, এবং এই ক্ষেত্রে, এটি কেন্দ্রের সাথে একইভাবে \( y \)-অক্ষের উপর থাকে।

অতএব, শীর্ষ বিন্দুটি হলো \( (-4, 4) \)।

উত্তর:

শীর্ষ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হলো: (-4, 4)