\( x^2–2y–8x+6= 0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কোনটি?

প্রশ্ন:

\( x^2 - 2y - 8x + 6 = 0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু কোনটি?

সমাধান:

প্রথমে সমীকরণটিকে পরাবৃত্তের সাধারণ রূপে রূপান্তর করি:

\( x^2 - 8x - 2y + 6 = 0 \)

এখানে, \( y \) এর জন্য সমাধান করলে:

\( -2y = -x^2 + 8x - 6 \)

অথবা:

\( y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3 \)

এটি একটি উত্থিত পরাবৃত্ত (parabola) এর সমীকরণ যা \( y \) এর জন্য প্রকাশিত। পরাবৃত্তের শীর্ষ বিন্দু বা সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু নির্ণয় করতে, সাধারণত এর কোঅর্ডিনেট বের করি।

পরাবৃত্তের শীর্ষ বিন্দু নির্ণয়:

এখানে, \( y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3 \) একটি উত্থিত পরাবৃত্ত। এর শীর্ষ বিন্দু নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে \( y \) এর জন্য \( x \) এর মান নির্ণয় করি।

প্রথম, পারাবৃত্তের \( y \) এর জন্য কোঅর্ডিনেট নির্ণয় করার জন্য, বেশ সহজে হয়। কারণ, এটি একটি কো-অর্ডিনেটের ফাংশন।

শীর্ষ বিন্দুর জন্য \( x \) এর মান:

একটি কো-অর্ডিনেটের জন্য, যেখানে পরাবৃত্তের গাণিতিক রূপ \( y = ax^2 + bx + c \), শীর্ষ বিন্দুর \( x \) মান হয়:

\( x_{sh} = -\frac{b}{2a} \)

এখানে, \( a = \frac{1}{2} \), \( b = -4 \):

\( x_{sh} = -\frac{-4}{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{4}{1} = 4 \)

শীর্ষ বিন্দুর \( y \) মান নির্ণয়:

এখন, \( x = 4 \) রেখে \( y \) এর মান নির্ণয় করি:

\( y = \frac{1}{2}(4)^2 - 4(4) + 3 = \frac{1}{2} \times 16 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5 \)

অতএব, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু:

\( \boxed{(4, -5)} \)