\( y^2 = 4x \) পরাবৃত্তের উপরস্থিত \( P \) বিন্দুর কোটি 6 হলে ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া হলো পরাবৃত্তের সমীকরণ: \[ y^2 = 4x \] এবং বিন্দু \( P \) এর অবস্থান \( (x_1, y_1) \), যেখানে \( y_1 = 6 \)। প্রথমে, \( P \) বিন্দুর \( x \) মান নির্ণয় করি: \[ y_1^2 = 4x_1 \Rightarrow 6^2 = 4x_1 \Rightarrow 36 = 4x_1 \Rightarrow x_1 = \frac{36}{4} = 9 \] অর্থাৎ, \( P \) বিন্দু হলো \( (9, 6) \)। পরাবৃত্তের কেন্দ্র হলো: \[ C = (a, 0) \] এখানে, পরাবৃত্তের জন্য \( y^2 = 4ax \) এর সমীকরণে, \( a \) হলো পরাবৃত্তের "অক্ষের" মান। আমাদের মূল পরাবৃত্তের সমীকরণে \( 4a = 4 \) এর মানে: \[ a = 1 \] অর্থাৎ, কেন্দ্র \( C = (1, 0) \)। অতএব, আমাদের লক্ষ্য হল এই বিন্দু \( P(9, 6) \) এর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব নির্ণয় করা। উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \( d \) হিসাব করা হয়: \[ d = | \text{dist}(P, C) - \text{dist}(P, \text{directrix}) | \] যেহেতু, পরাবৃত্তের কেন্দ্র হলো \( (a, 0) = (1, 0) \), এবং এটি একটি কনসিকের, উপকেন্দ্রিক দূরত্ব হলো কেন্দ্র থেকে বিন্দুর দূরত্বের সমান বা: \[ d = | \text{dist}(P, C) - a | \] অথবা, সাধারণতঃ উপকেন্দ্রিক দূরত্বটি হলো কেন্দ্র থেকে পয়েন্টের দূরত্বের মান। এখানে, সরাসরি দূরত্ব: \[ \text{dist} = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{(9 - 1)^2 + 6^2} = \sqrt{8^2 + 36} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] অতএব, এই বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব হলো **10**। **উত্তর: 10**