y^2=12xপরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কোটি ভুজের দ্বিগুণ হবে?
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, পরাবৃত্তের সমীকরণ হলো \( y^2 = 12x \)।
প্রথমে, পরাবৃত্তের কেন্দ্র ও ধনু নির্ণয় করি।
উপরের সমীকরণটি সাধারণ পরাবৃত্তের সমীকরণ \( y^2 = 4ax \) এর সাথে তুলনা করলে, পেতে হয়:
- \( 4a = 12 \Rightarrow a = 3 \)
অতএব, পরাবৃত্তের কেন্দ্র \( C(0,0) \) ও ধনু \( 4a = 12 \) অনুযায়ী ধনু: \( x = a = 3 \)।
ধাপ ১: পরাবৃত্তের টানেল সমীকরণ
প্রতিটি বিন্দু \( P(x, y) \) পরাবৃত্তের উপর অবস্থান করে যদি:
\[ y^2 = 12x \]ধাপ ২: কোণের দ্বিগুণের জন্য উপযুক্ত বিন্দু নির্ণয়
কোণের দ্বিগুণের জন্য, আমরা একটি বিন্দু \( P \) নির্বাচন করব, যার থেকে পরাবৃত্তের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \( Q \) এর সাথে সংযোগ করব।
অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিগুণের জন্য, সাধারণতঃ সংযোগ রেখা \( OP \) এর সাথে সমান্তরাল হতে পারে।
ধাপ ৩: বিন্দু \( P(x, y) \) এর জন্য সমাধান
প্রতিটি বিন্দু \( P \) এর জন্য, তার থেকে কেন্দ্র \( C \) এর দূরত্ব \( OP = \sqrt{x^2 + y^2} \)।
যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে "কোটি ভুজের দ্বিগুণ হবে", অর্থাৎ, কোণের দ্বিগুণের জন্য নির্দিষ্ট বিন্দু নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ৪: \( P(3, 6) \) পরীক্ষা করুন
চলুন, \( P(3, 6) \) বিন্দুটি পরাবৃত্তের উপর কিনা পরীক্ষা করি:
\[ y^2 = 12x \Rightarrow 6^2 = 12 \times 3 \Rightarrow 36 = 36 \quad \text{সত্য} \] অর্থাৎ, \( P(3,6) \) পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।উপসংহার:
অতএব, পরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কোণের দ্বিগুণ হবে তা হলো \(\boxed{(3,6)}\)।